Calcule
\int_{-1}^{2} \int_{1}^{4}\left(2 x+6 x^{2} y\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla
\int_{-1}^{2}\int_{1}^{4}\bigl(2x+6x^{2}y\bigr)\,dy\,dx
sobre o retângulo \{(x,y)\mid -1\le x\le2,\;1\le y\le4\}. O conteúdo aplicado é cálculo de integrais iteradas: primeiro integramos em y (tratando x como constante) e depois em x.

Passo 2

Integramos em y:
\int_{1}^{4}\bigl(2x+6x^{2}y\bigr)\,dy =2x\int_{1}^{4}dy+6x^{2}\int_{1}^{4}y\,dy.
Calculando cada parte:
2x\bigl[y\bigr]_{1}^{4} =2x(4-1)=6x,
6x^{2}\bigl[\tfrac{y^{2}}{2}\bigr]_{1}^{4} =6x^{2}\,\frac{16-1}{2} =3x^{2}\cdot15 =45x^{2}.
Logo a integral interna vale
6x+45x^{2}.

Passo 3

Agora integramos em x:
\int_{-1}^{2}\bigl(6x+45x^{2}\bigr)\,dx =\int_{-1}^{2}6x\,dx+\int_{-1}^{2}45x^{2}\,dx.
As antiderivadas são
\int6x\,dx=3x^{2},\quad \int45x^{2}\,dx=15x^{3}.
Avaliando de -1 a 2:
\bigl(15\cdot2^{3}+3\cdot2^{2}\bigr) -\bigl(15\cdot(-1)^{3}+3\cdot(-1)^{2}\bigr) =(120+12)-(-15+3) =132-(-12) =144.

Resposta

144

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