Calcule
\int_{-1}^{1} \int_{x^{3}}^{x+1}(3 x+2 y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral iterada
\int_{-1}^{1}\int_{x^3}^{x+1}(3x+2y)\,dy\,dx.
Vamos usar o Teorema de Fubini para integrar primeiro em y (antiderivadas em função de y) e depois em x, aplicando as propriedades de polinômios e funções pares/ímpares.

Passo 2

Calculamos a integral interna em y. Como
\frac{d}{dy}\bigl(3x\,y + y^2\bigr)=3x+2y,
uma antiderivada de 3x+2y é 3x\,y + y^2. Portanto,
\int_{x^3}^{x+1}(3x+2y)\,dy =\bigl[3x\,y + y^2\bigr]_{y=x^3}^{y=x+1}.

Passo 3

Avaliamo-la em y=x+1 e y=x^3:
Para y=x+1:
3x(x+1)+(x+1)^2 =3x^2+3x+x^2+2x+1 =4x^2+5x+1.
Para y=x^3:
3x\cdot x^3+(x^3)^2 =3x^4+x^6.
Logo a diferença é
(4x^2+5x+1)-(3x^4+x^6) =-x^6-3x^4+4x^2+5x+1.

Passo 4

Agora integramos em x de -1 a 1:
\int_{-1}^{1}\bigl(-x^6-3x^4+4x^2+5x+1\bigr)\,dx.
Note que \int_{-1}^{1}5x\,dx=0 por ser função ímpar. Restam termos pares:
\int_{-1}^{1}-x^6\,dx=-\frac{2}{7},\quad \int_{-1}^{1}-3x^4\,dx=-\frac{6}{5},\quad \int_{-1}^{1}4x^2\,dx=\frac{8}{3},\quad \int_{-1}^{1}1\,dx=2.
Somando tudo:
-\frac{2}{7}-\frac{6}{5}+\frac{8}{3}+2 =\frac{334}{105}.

Resposta

\displaystyle \frac{334}{105}

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