Calcule
\int_{1}^{3} \int_{-1}^{2}\left(12 x y^{2}-8 x^{3}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{1}^{3}\int_{-1}^{2}\bigl(12x y^{2}-8x^{3}\bigr)\,dy\,dx.
Como 12x y^{2}-8x^{3} é contínua num retângulo fechado, podemos usar o Teorema de Fubini e fazer a ordem dy depois dx.

Passo 2

Primeiro integramos em y:
\int_{-1}^{2}\bigl(12x y^{2}-8x^{3}\bigr)\,dy =4x\,y^{3}\Big|_{-1}^{2}\;-\;8x^{3}\,y\Big|_{-1}^{2} =36x-24x^{3}.

Passo 3

Agora integramos em x:
\int_{1}^{3}(36x-24x^{3})\,dx =18x^{2}-6x^{4}\Big|_{1}^{3} =(162-486)-(18-6) =-324-12 =-336.

Resposta

-336

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