Questão 4. Seja o conjunto X=\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right\}, onde os x_{i} 's formam os valores da variável X. Vamos formar os conjuntos Y=\left\{x_{1}+a, x_{2}+a, \ldots, x_{n}+a\right\} e Z=\left\{b x_{1}, b x_{2}, \ldots, b x_{n}\right\}, onde a e b são constantes.
a) ( \mathbf{1 , 0} pt). Mostre que soma dos desvios \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)=0.
b) ( \mathbf{1 , 0} pt). Mostre que \operatorname{dp}(X)=\operatorname{dp}(Y).
c) (1,0 pt). Mostre que \operatorname{dp}(X)=\frac{1}{b} \operatorname{dp}(Z)

Passo 1

O enunciado trata de estatística descritiva: temos um conjunto de dados X=\{x_1,\dots,x_n\} com média \bar{x}, e definimos dois conjuntos transformados \r \,Y=\{x_i+a\} e \,Z=\{b\,x_i\}, onde a e b são constantes. Precisamos:\r
  • (a) mostrar que \sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})=0, \r
  • (b) provar que a dispersão (desvio padrão) de X e Y é a mesma, \r
  • (c) mostrar como o desvio padrão de Z se relaciona com o de X. \r
    Para isso, usaremos a definição de média \r
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\r
e de desvio padrão populacional \r
\operatorname{dp}(X)=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\bigl(x_i-\bar{x}\bigr)^2}.

Passo 2

(a) Calcular \r
\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x}) = \sum_{i=1}^n x_i - \sum_{i=1}^n \bar{x}. \r
Como \bar{x} é constante em i, \sum_{i=1}^n \bar{x}=n\,\bar{x}. E pela definição de média, \sum_{i=1}^n x_i=n\,\bar{x}. Logo \r
\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x}) = n\,\bar{x} - n\,\bar{x} = 0.

Passo 3

(b) Para Y, cada termo é y_i = x_i + a. A média de Y é \r
\bar{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i + a) = \bar{x} + a. \r
Então \r
\;y_i - \bar{y} = (x_i + a) - (\bar{x} + a) = x_i - \bar{x}. \r
Substituindo na definição de desvio padrão, \r
\operatorname{dp}(Y)\r =\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (y_i-\bar{y})^2}\r =\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}\r =\operatorname{dp}(X).

Passo 4

(c) Para Z, cada termo é z_i = b\,x_i. A média de Z é \r
\bar{z} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n z_i = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (b\,x_i) = b\,\bar{x}. \r
Então \r
\;z_i - \bar{z} = b\,x_i - b\,\bar{x} = b\,(x_i-\bar{x}). \r
No desvio padrão: \r
\operatorname{dp}(Z)\r =\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (z_i-\bar{z})^2}\r =\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n b^2(x_i-\bar{x})^2}\r =|b|\;\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}\r =|b|\,\operatorname{dp}(X). \r
Se b>0, fica \operatorname{dp}(Z)=b\,\operatorname{dp}(X), ou equivalentemente \r
\operatorname{dp}(X)=\frac{1}{b}\,\operatorname{dp}(Z).

Resposta

(a) \displaystyle \sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})=0. \r
(b) \displaystyle \operatorname{dp}(Y)=\operatorname{dp}(X). \r
(c) \displaystyle \operatorname{dp}(Z)=|b|\,\operatorname{dp}(X), e para b>0, \operatorname{dp}(X)=\tfrac{1}{b}\,\operatorname{dp}(Z).

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