Calcule
\iint_{R} e^{2\left(x^{2}+y^{2}\right)} d A
onde R é o disco x^{2}+y^{2} \leq 4.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\iint_{R} e^{2(x^{2}+y^{2})}\,dA
onde R é o disco definido por x^{2}+y^{2}\le 4. O conteúdo aqui é integração dupla em coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta
e a região R fica
0 \le r \le 2,\quad 0 \le \theta \le 2\pi.
Portanto
\iint_{R} e^{2(x^{2}+y^{2})}\,dA = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2} e^{2r^{2}}\,r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Para avaliar
\int_{0}^{2} e^{2r^{2}}\,r\,dr
faça a substituição u = 2r^{2}, logo du = 4r\,dr e r\,dr = du/4. Quando r=0 vem u=0 e quando r=2 vem u=8. Assim
\int_{0}^{2} e^{2r^{2}}\,r\,dr = \int_{0}^{8} e^{u}\,\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{8} = \frac{e^{8}-1}{4}.

Passo 4

Agora volte à integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi.
Multiplicando pelos resultados anteriores, obtemos
\iint_{R} e^{2(x^{2}+y^{2})}\,dA = 2\pi \cdot \frac{e^{8}-1}{4} = \frac{\pi}{2}\bigl(e^{8}-1\bigr).

Resposta

\frac{\pi}{2}\bigl(e^{8}-1\bigr).

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