Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os
tais que
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo
a região
Vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é indicado quando giramos um conjunto definido por
em torno do eixo
.
Passo 2
No método das cascas cilíndricas, cada fatia vertical em
gera uma casca de raio
, altura
e espessura
. O volume infinitesimal dessa casca é
Logo, o volume total é
Passo 3
Expandindo o integrando, temos
então
Passo 4
Calculamos a primitiva:
Avaliaremos de 1 a 4:
Como
, no limite superior vem
,
e no inferior .
A diferença é ,
portanto
e no inferior
A diferença é
portanto