Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os (x, y) tais que
1 \leqslant x \leqslant 4 \mathrm{e} 1 \leqslant y \leqslant \sqrt{x}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região
1 \le x \le 4,\quad 1 \le y \le \sqrt{x}.
Vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é indicado quando giramos um conjunto definido por y=f(x) em torno do eixo y.

Passo 2

No método das cascas cilíndricas, cada fatia vertical em x gera uma casca de raio x, altura \sqrt{x}-1 e espessura dx. O volume infinitesimal dessa casca é
dV = 2\pi\cdot(\text{raio})\cdot(\text{altura})\cdot dx = 2\pi\,x\,(\sqrt{x}-1)\,dx.
Logo, o volume total é
V = \int_{x=1}^{x=4} 2\pi\,x\,(\sqrt{x}-1)\,dx.

Passo 3

Expandindo o integrando, temos
x(\sqrt{x}-1) = x^{3/2} - x,
então
V = 2\pi \int_{1}^{4} \bigl(x^{3/2} - x\bigr)\,dx.

Passo 4

Calculamos a primitiva:
\int \bigl(x^{3/2}-x\bigr)\,dx = \frac{2}{5}\,x^{5/2} - \frac{1}{2}\,x^2.
Avaliaremos de 1 a 4:
\left[\frac{2}{5}x^{5/2} - \frac{1}{2}x^2\right]_{1}^{4} = \bigl(\tfrac{2}{5}\cdot4^{5/2} - \tfrac12\cdot4^2\bigr) - \bigl(\tfrac{2}{5}\cdot1^{5/2} - \tfrac12\cdot1^2\bigr).
Como 4^{5/2}=32, no limite superior vem \tfrac{2}{5}\cdot32 - 8 = \tfrac{64}{5}-8 = \tfrac{24}{5},
e no inferior \tfrac{2}{5}-\tfrac12=-\tfrac{1}{10}.
A diferença é \tfrac{24}{5}-(-\tfrac{1}{10})=\tfrac{49}{10},
portanto
V = 2\pi \cdot \frac{49}{10} = \frac{49\pi}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{49\pi}{5}

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