Esboce a região limitada pelas curvas x=y^{2} e x=2 y-y^{2} e calcule a área desta região. Resposta: \frac{1}{3}.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
x = y^{2}
e
x = 2y - y^{2}.
O conteúdo principal aqui é cálculo de área entre curvas: expressamos a área como integral em y da diferença entre a curva de x à direita e a curva de x à esquerda, no intervalo de interseção em y.

Passo 2

Precisamos achar os pontos de interseção, isto é, resolver
y^{2} = 2y - y^{2}.
Reagrupando,
2y^{2} - 2y = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2y(y - 1) = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = 0 \;\text{ou}\; y = 1.

Passo 3

Para y em [0,1], comparamos
x_{\text{direita}} = 2y - y^{2} \quad\text{e}\quad x_{\text{esquerda}} = y^{2}.
Note que
2y - y^{2} - y^{2} = 2y(1 - y)\ge 0 \quad\text{para}\;0\le y\le1,
logo x_{\text{direita}} \ge x_{\text{esquerda}} nesse intervalo.

Passo 4

A área A é
A = \int_{y=0}^{1}\bigl[x_{\text{direita}} - x_{\text{esquerda}}\bigr]\,dy = \int_{0}^{1}\bigl((2y - y^{2}) - y^{2}\bigr)\,dy = \int_{0}^{1}\bigl(2y - 2y^{2}\bigr)\,dy.
Calculando:
\int_{0}^{1}2y\,dy = \bigl[y^{2}\bigr]_{0}^{1} = 1, \qquad \int_{0}^{1}2y^{2}\,dy = 2\cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3},
então
A = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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