Calcule \iint_{R} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} d x d y, onde R é a região x^{2}+y^{2} \leq a^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} e^{-\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}\,dx\,dy
onde R é o disco definido por x^{2}+y^{2}\le a^{2}.
O conteúdo principal aqui é a mudança para coordenadas polares e o uso do jacobiano.

Passo 2

Fazemos a troca para coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
com r\in[0,a] e \theta\in[0,2\pi]. O elemento de área vira
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Em coordenadas polares a integral fica
\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{a} e^{-r^{2}}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calculemos primeiro a integral em r:
\int_{0}^{a} e^{-r^{2}}\,r\,dr.
Fazendo t = r^{2}, dt = 2r\,dr, obtemos
\int_{0}^{a} e^{-r^{2}}\,r\,dr = \frac{1}{2}\int_{0}^{a^{2}} e^{-t}\,dt = \frac{1}{2}\bigl(1 - e^{-a^{2}}\bigr).

Passo 5

Agora integramos em \theta:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Multiplicando, o valor total é
2\pi \cdot \frac{1}{2}\bigl(1 - e^{-a^{2}}\bigr) = \pi\bigl(1 - e^{-a^{2}}\bigr).

Resposta

\pi\bigl(1 - e^{-a^{2}}\bigr)

Exercícios relacionados