Calcule
\iint_{R} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d x d y, onde R é a região do plano x y limitada por x^{2}+y^{2}=4 e x^{2}+y^{2}=9.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\iint_{R} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\;dx\,dy
onde R é o anel definido por x^{2}+y^{2}=4 e x^{2}+y^{2}=9. O conteúdo é integração dupla em coordenadas polares, usando a transformação (x,y)\mapsto(r,\theta).

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r,
e o elemento de área dx\,dy vira r\,dr\,d\theta. Na região R os limites são
2\le r\le3,\quad 0\le\theta\le2\pi.

Passo 3

O integral transforma-se em
\iint_{R}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;dx\,dy =\int_{0}^{2\pi}\int_{2}^{3}r\;\bigl(r\,dr\,d\theta\bigr) =\int_{0}^{2\pi}\int_{2}^{3}r^{2}\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calculando primeiro a integral em r:
\int_{2}^{3}r^{2}\,dr =\Bigl[\tfrac{r^{3}}{3}\Bigr]_{2}^{3} =\frac{27-8}{3} =\frac{19}{3}.
Em seguida a integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi.
Multiplicando, obtemos
2\pi\cdot\frac{19}{3}=\frac{38\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{38\pi}{3}

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