Determine as integrais duplas \int_{0}^{4} \int_{0}^{3 x / 2} \sqrt{16-x^{2}} d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{4}\int_{0}^{\tfrac{3x}{2}}\sqrt{16-x^{2}}\;dy\,dx.
O que vemos é que o integrando \sqrt{16-x^{2}} depende só de x. Então vamos aplicar o Teorema de Fubini e, primeiro, integrar em y.

Passo 2

Para cada x fixo, temos
\int_{0}^{\tfrac{3x}{2}}\sqrt{16-x^{2}}\;dy =\sqrt{16-x^{2}}\;\Bigl[y\Bigr]_{0}^{\tfrac{3x}{2}} =\sqrt{16-x^{2}}\;\cdot\frac{3x}{2}.
Logo a dupla reduz-se a uma única integral em x.

Passo 3

Substituindo, a integral fica
\int_{0}^{4}\frac{3x}{2}\,\sqrt{16-x^{2}}\;dx.

Passo 4

Fatoramos a constante e preparamos a substituição
\frac{3}{2}\int_{0}^{4}x\sqrt{16-x^{2}}\;dx.
Faça t=16-x^{2}, então dt=-2x\,dx e x\,dx=-\tfrac{1}{2}dt. Quando x=0, t=16; quando x=4, t=0.

Passo 5

Com a substituição,
\int_{0}^{4}x\sqrt{16-x^{2}}\,dx =\int_{16}^{0}\sqrt{t}\,\Bigl(-\tfrac{1}{2}dt\Bigr) =\frac{1}{2}\int_{0}^{16}t^{1/2}dt =\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}t^{3/2}\Big|_{0}^{16} =\frac{1}{3}\cdot16^{3/2} =\frac{1}{3}\cdot64 =\frac{64}{3}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{3}{2}
\frac{3}{2}\times\frac{64}{3}=32.

Resposta

32

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