Calcule as integrais duplas.
\int_{1}^{4} \int_{1}^{2}\left[\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right] d y d x=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{1}^{4}\int_{1}^{2}\Bigl(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\Bigr)\,dy\,dx.
Como a região de integração é um retângulo e o integrando é contínuo, aplicamos o teorema de Fubini e integramos primeiro em y e depois em x, tratando termo a termo.

Passo 2

Calcular a integral interna em y:
\int_{1}^{2}\frac{x}{y}\,dy \;+\;\int_{1}^{2}\frac{y}{x}\,dy.
No primeiro termo, x é constante em relação a y:
\int_{1}^{2}\frac{x}{y}\,dy = x\int_{1}^{2}\frac{1}{y}\,dy = x\bigl[\ln y\bigr]_{1}^{2} = x\ln 2.
No segundo termo, 1/x é constante em relação a y:
\int_{1}^{2}\frac{y}{x}\,dy = \frac{1}{x}\int_{1}^{2}y\,dy = \frac{1}{x}\Bigl[\frac{y^2}{2}\Bigr]_{1}^{2} = \frac{1}{x}\cdot\frac{4-1}{2} = \frac{3}{2x}.
Portanto, a integral interna vale
x\ln 2 \;+\;\frac{3}{2x}.

Passo 3

Agora integramos em x de 1 a 4:
\int_{1}^{4}\Bigl(x\ln 2 + \tfrac{3}{2x}\Bigr)\,dx = \ln 2\int_{1}^{4}x\,dx \;+\;\frac{3}{2}\int_{1}^{4}\frac{1}{x}\,dx.
Calculamos separadamente:
\int_{1}^{4}x\,dx = \Bigl[\frac{x^2}{2}\Bigr]_{1}^{4} = \frac{16-1}{2} = \frac{15}{2},
\int_{1}^{4}\frac{1}{x}\,dx = [\ln x]_{1}^{4} = \ln 4 = 2\ln 2.
Substituindo:
\ln 2\cdot\frac{15}{2} \;+\; \frac{3}{2}\cdot(2\ln 2) = \frac{15}{2}\ln 2 + 3\ln 2 = \frac{21}{2}\ln 2.

Resposta

\frac{21}{2}\ln 2

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