Calcule as seguintes tendências:
\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{x}.
  • O limite é um limite lateral à esquerda, ou seja, estamos interessados em x que se aproximam de 0 com x<0.
  • Note que f não está definida em x=0 (divisão por zero), então faz sentido estudar limites laterais.

Passo 2

Intuição (com exemplos numéricos): quando x é negativo e muito próximo de zero, o denominador é um número negativo com módulo pequeno. Exemplos:
  • Se x=-0,1 então \dfrac{1}{x}=-10.
  • Se x=-0,01 então \dfrac{1}{x}=-100.
  • Se x=-0,001 então \dfrac{1}{x}=-1000.
Vê-se que, à medida que x se aproxima de 0 pela esquerda, os valores de \dfrac{1}{x} ficam cada vez mais negativos (de grande magnitude). Isso sugere que o limite tende a menos infinito.

Passo 3

Evidência usando uma sequência simples: considere a sequência \,x_n=-\dfrac{1}{n}\, para n=1,2,3,\dots. Então \,x_n\to 0^- quando n\to\infty. Para essa sequência,
\frac{1}{x_n}=\frac{1}{-1/n}=-n,
e -n\to -\infty quando n\to\infty. Assim, ao menos ao longo dessa sequência que se aproxima de 0 pela esquerda, os valores da função divergem para -\infty. Para concluir o limite lateral para todos os x\to 0^- precisamos de um argumento geral (formal).

Passo 4

Prova formal da divergência para -\infty.
Definição útil: dizer que \displaystyle\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty significa que para todo M>0 existe \delta>0 tal que, se 0>x>-\delta, então \dfrac{1}{x}<-M.
Seja M>0 dado. Escolha \delta=\dfrac{1}{M}. Se x satisfaz 0>x>-\delta então |x|<\dfrac{1}{M}. Daí
\frac{1}{|x|}>M.
Como x<0 temos \dfrac{1}{x}=-\dfrac{1}{|x|}. Portanto
\frac{1}{x}=-\frac{1}{|x|}<-M.
Isso prova que para qualquer M>0 existe \delta=1/M tal que 0>x>-\delta implica \dfrac{1}{x}<-M. Pela definição acima, isso significa exatamente que
\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty.

Passo 5

Observações rápidas úteis para a prova:
  • O limite lateral pela direita é \displaystyle\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty.
  • O limite bilateral \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1}{x} não existe como número real, porque os dois lados divergem com sinais opostos.
Força aí — é normal ter um pouco de pânico com limites, mas este é um exemplo clássico e simples: a recíproca de algo que tende a zero muda de sinal conforme o lado e explode em magnitude.

Resposta

-\infty

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