Calcule as seguintes tendências:
Passo 1
O enunciado pede calcular
Informações dadas:
- A função é
. - O limite é um limite lateral à esquerda, ou seja, estamos interessados em
que se aproximam de com . - Note que
não está definida em (divisão por zero), então faz sentido estudar limites laterais.
Passo 2
Intuição (com exemplos numéricos): quando
é negativo e muito próximo de zero, o denominador é um número negativo com módulo pequeno. Exemplos:
- Se
então . - Se
então . - Se
então .
Vê-se que, à medida que
se aproxima de
pela esquerda, os valores de
ficam cada vez mais negativos (de grande magnitude). Isso sugere que o limite tende a menos infinito.
Passo 3
Evidência usando uma sequência simples: considere a sequência
para
. Então
quando
. Para essa sequência,
e
quando
. Assim, ao menos ao longo dessa sequência que se aproxima de
pela esquerda, os valores da função divergem para
. Para concluir o limite lateral para todos os
precisamos de um argumento geral (formal).
Passo 4
Prova formal da divergência para
.
Definição útil: dizer que
significa que para todo
existe
tal que, se
, então
.
Seja
dado. Escolha
. Se
satisfaz
então
. Daí
Como
temos
. Portanto
Isso prova que para qualquer
existe
tal que
implica
. Pela definição acima, isso significa exatamente que
Passo 5
Observações rápidas úteis para a prova:
- O limite lateral pela direita é
. - O limite bilateral
não existe como número real, porque os dois lados divergem com sinais opostos.
Força aí — é normal ter um pouco de pânico com limites, mas este é um exemplo clássico e simples: a recíproca de algo que tende a zero muda de sinal conforme o lado e explode em magnitude.