O tempo total de execução de uma certa tarefa,
, pode ser diminuído se mais pessoas trabalharem em conjunto. Digamos que
pessoas colaboram, reduzindo o tempo efetivo de finalização para
. Todavia, há uma certa ineficiência, devido à necessidade de gerenciamento, que é proporcional à quantidade de pessoas envolvidas, o que aumenta o tempo efetivo para:
onde
é uma constante positiva. Digamos que
horas e
, qual o número de pessoas, sob essa modelagem, que leva ao tempo efetivo mínimo para realizar a tarefa?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- A expressão do tempo efetivo em função do número de pessoas
é
- Foram dados os valores
(horas) e . - O que o problema pede: encontrar o valor de
que minimiza segundo essa modelagem.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
. -
. - A variável de interesse é
, número de pessoas (na prática é inteiro positivo, mas podemos primeiro tratar como real positivo para achar o mínimo teórico).
Passo 2
Estratégia matemática (explicada devagar e sem pulo): para minimizar uma função suave de uma variável real, usa-se cálculo diferencial. A ideia é:
- Calcular a derivada
, que dá a taxa de variação instantânea de quando muda. - Encontrar pontos onde
; esses pontos são candidatos a extremos (mínimos ou máximos). - Verificar a segunda derivada
: se no ponto crítico, então é um mínimo local.
Vou aplicar isso a
. Primeiro escrevo a função e depois derivo termo a termo. Lembre que a derivada de
é
, e a derivada de
é
.
Passo 3
Calcular a derivada e achar o ponto crítico.
A derivada é
Igualando a zero para achar o candidato a mínimo:
Isolando
,
Substituindo
e
:
Agora verifico o sinal da segunda derivada para garantir que é mínimo:
Como
e
, tem-se
, logo o ponto crítico é um mínimo local (na verdade global para
).
Passo 4
Interpretação prática (inteiro): o valor teórico que minimiza
é
. Como número de pessoas tem que ser inteiro positivo, escolhemos o inteiro mais próximo. Para decidir entre
e
(ou 13), calculo
nesses inteiros para ver qual dá menor tempo efetivo.
Calculo explicitamente:
Comparando,
é o menor entre esses, portanto o melhor número inteiro de pessoas é
.
Passo 5
Resumo final e incentivo: a modelagem contínua dá
, e considerando que
deve ser inteiro obtemos que
pessoas produzem o tempo efetivo mínimo. Boa! Isso significa que, segundo o modelo, aumentar a equipe além disso começa a custar mais tempo por causa da ineficiência de gerência — clássico ponto de equilíbrio. Força nos estudos!