O tempo total de execução de uma certa tarefa, T, pode ser diminuído se mais pessoas trabalharem em conjunto. Digamos que n pessoas colaboram, reduzindo o tempo efetivo de finalização para t(n)=\frac{T}{n}. Todavia, há uma certa ineficiência, devido à necessidade de gerenciamento, que é proporcional à quantidade de pessoas envolvidas, o que aumenta o tempo efetivo para:
t(n)=\frac{T}{n}+k n
onde k é uma constante positiva. Digamos que T=10 horas e k=0.05, qual o número de pessoas, sob essa modelagem, que leva ao tempo efetivo mínimo para realizar a tarefa?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A expressão do tempo efetivo em função do número de pessoas n é
t(n)=\frac{T}{n}+k n.
  • Foram dados os valores T=10 (horas) e k=0,05.
  • O que o problema pede: encontrar o valor de n que minimiza t(n) segundo essa modelagem.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • T=10.
  • k=0,05.
  • A variável de interesse é n, número de pessoas (na prática n é inteiro positivo, mas podemos primeiro tratar n como real positivo para achar o mínimo teórico).

Passo 2

Estratégia matemática (explicada devagar e sem pulo): para minimizar uma função suave de uma variável real, usa-se cálculo diferencial. A ideia é:
  • Calcular a derivada t'(n), que dá a taxa de variação instantânea de t quando n muda.
  • Encontrar pontos onde t'(n)=0; esses pontos são candidatos a extremos (mínimos ou máximos).
  • Verificar a segunda derivada t''(n): se t''(n)>0 no ponto crítico, então é um mínimo local.
Vou aplicar isso a t(n)=\dfrac{T}{n}+k n. Primeiro escrevo a função e depois derivo termo a termo. Lembre que a derivada de n^{-1} é -n^{-2}, e a derivada de kn é k.

Passo 3

Calcular a derivada e achar o ponto crítico.
A derivada é
t'(n) = -\frac{T}{n^{2}} + k.
Igualando a zero para achar o candidato a mínimo:
-\frac{T}{n^{2}} + k = 0 \quad\Rightarrow\quad k = \frac{T}{n^{2}}.
Isolando n,
n^{2}=\frac{T}{k}\quad\Rightarrow\quad n=\sqrt{\frac{T}{k}}.
Substituindo T=10 e k=0,05:
n=\sqrt{\frac{10}{0,05}}=\sqrt{200}=\sqrt{100\cdot 2}=10\sqrt{2}\approx 14,1421\ldots
Agora verifico o sinal da segunda derivada para garantir que é mínimo:
t''(n)=\frac{2T}{n^{3}}.
Como T>0 e n>0, tem-se t''(n)>0, logo o ponto crítico é um mínimo local (na verdade global para n>0).

Passo 4

Interpretação prática (inteiro): o valor teórico que minimiza t(n) é n\approx 14,1421. Como número de pessoas tem que ser inteiro positivo, escolhemos o inteiro mais próximo. Para decidir entre n=14 e n=15 (ou 13), calculo t(n) nesses inteiros para ver qual dá menor tempo efetivo.
Calculo explicitamente:
t(14)=\frac{10}{14}+0,05\cdot 14=0,7142857\ldots+0,7=1,4142857\ldots
t(15)=\frac{10}{15}+0,05\cdot 15=0,6666667\ldots+0,75=1,4166667\ldots
t(13)=\frac{10}{13}+0,05\cdot 13=0,7692308\ldots+0,65=1,4192308\ldots
Comparando, t(14) é o menor entre esses, portanto o melhor número inteiro de pessoas é 14.

Passo 5

Resumo final e incentivo: a modelagem contínua dá n=\sqrt{T/k}\approx14,14, e considerando que n deve ser inteiro obtemos que 14 pessoas produzem o tempo efetivo mínimo. Boa! Isso significa que, segundo o modelo, aumentar a equipe além disso começa a custar mais tempo por causa da ineficiência de gerência — clássico ponto de equilíbrio. Força nos estudos!

Resposta

14 pessoas.

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