Questão 29 (ITA-06) Se \left|\begin{array}{lll}a & b & c \\\ p & q & r \\\ x & y & z\end{array}\right|=1, calcule \left|\begin{array}{ccc}-2 a & -2 b & -2 c \\\\ 2 p+x & 2 q+y & 2 r+z \\\\ 3 x & 3 y & 3 z\end{array}\right|.

Passo 1

O enunciado dá o valor do determinante
\begin{vmatrix} a & b & c \\\ p & q & r \\\ x & y & z \end{vmatrix} = 1
e pede o valor de
\begin{vmatrix} -2a & -2b & -2c \\\\ 2p+x & 2q+y & 2r+z \\\\ 3x & 3y & 3z \end{vmatrix}.
O conteúdo é uso da linearidade em linhas e extração de escalares no determinante.

Passo 2

Escrevemos as linhas do novo determinante em função das linhas originais (que chamamos de R_1,R_2,R_3):
R_1' = -2\,R_1,\quad R_2' = 2\,R_2 + R_3,\quad R_3' = 3\,R_3.

Passo 3

Pela linearidade na segunda linha, temos
\det(R_1',R_2',R_3') = \det(R_1',\,2R_2,\,R_3') + \det(R_1',\,R_3,\,R_3').

Passo 4

Agora extraímos os escalares de cada linha:
\det(R_1',2R_2,R_3') = (-2)\cdot2\cdot3\;\det(R_1,R_2,R_3) = -12\cdot1 = -12,
\det(R_1',R_3,R_3') = (-2)\cdot1\cdot3\;\det(R_1,R_3,R_3) = -6\cdot0 = 0,
já que um determinante com duas linhas iguais R_3 e R_3 vale zero.

Passo 5

Somando os termos, o valor pedido é
-12 + 0 = -12.

Resposta

-12

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