Calcule \iint_{S} F \cdot d S, onde
F(x, y, z)=\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}},-\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}, \frac{2 x(1-x y) z}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}\right)
e S é a parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=2, compreendida entre os planos z=-1 e z=1, orientada com vetor normal apontando para fora…

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\iint_{S}F\cdot dS
através da parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 com -1\le z\le1, orientação para fora. Vamos usar coordenadas esféricas para parametrizar essa parte de esfera e avaliar
\iint_{S}F\cdot n\,dS
diretamente.

Passo 2

Parametrizamos a esfera de raio R=\sqrt{2}\) por \[\begin{cases} x=\sqrt{2}\,\sin\varphi\cos\theta,\\\ y=\sqrt{2}\,\sin\varphi\sin\theta,\\\ z=\sqrt{2}\,\cos\varphi, \end{cases}
onde \varphi\in[\phi_{1},\phi_{2}]\] e \(\theta\in[0,2\pi]. As duas alturas z=\pm1 dão
\cos\phi_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\quad\Rightarrow\quad\phi_{1}=\frac{\pi}{4}, \qquad \cos\phi_{2}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\quad\Rightarrow\quad\phi_{2}=\frac{3\pi}{4}.
O vetor normal unitário para fora é
n=\frac{(x,y,z)}{R} =(\sin\varphi\cos\theta,\;\sin\varphi\sin\theta,\;\cos\varphi)
e o elemento de área é
dS=R^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta =2\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Escrevemos
F\cdot n =F_{1}n_{1}+F_{2}n_{2}+F_{3}n_{3}.
Em coordenadas esféricas sobre a superfície nota-se que o termo com F_{3} contém fatores como \cos\theta ou \sin\theta que, quando multiplicados por d\theta e integrados de 0 a 2\pi, dão zero. Logo a única contribuição não nula virá de F_{1}n_{1}+F_{2}n_{2}.

Passo 4

Calculemos então
F_{1}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}} =\frac{1}{2\sin^{2}\varphi}, \quad n_{1}=\sin\varphi\cos\theta,
F_{2}=-\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} =-\cos^{2}\theta, \quad n_{2}=\sin\varphi\sin\theta.
Assim
F_{1}n_{1}\,dS =\frac{1}{2\sin^{2}\varphi}\,\sin\varphi\cos\theta\;\bigl(2\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta\bigr) =\cos\theta\,d\varphi\,d\theta,
F_{2}n_{2}\,dS =-\cos^{2}\theta\,\sin\varphi\sin\theta\;\bigl(2\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta\bigr) =-2\,\sin^{2}\varphi\,\cos^{2}\theta\,\sin\theta\,d\varphi\,d\theta.
Ao integrar em \theta de 0 a 2\pi,
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0, \quad \int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,\sin\theta\,d\theta=0.
Portanto
\iint_{S}F\cdot dS =\int_{\phi_{1}}^{\phi_{2}}\!\!\int_{0}^{2\pi} \bigl(\cos\theta-2\sin^{2}\varphi\cos^{2}\theta\sin\theta\bigr) \,d\theta\,d\varphi =0.

Resposta

\iint_{S}F\cdot dS=0.

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