Calcule
, onde
e
é a parte da esfera
, compreendida entre os planos
e
, orientada com vetor normal apontando para fora…
Passo 1
O enunciado pede o fluxo
através da parte da esfera
com
, orientação para fora. Vamos usar coordenadas esféricas para parametrizar essa parte de esfera e avaliar
diretamente.
Passo 2
Parametrizamos a esfera de raio
onde
. As duas alturas
dão
O vetor normal unitário para fora é
e o elemento de área é
Passo 3
Escrevemos
Em coordenadas esféricas sobre a superfície nota-se que o termo com
contém fatores como
ou
que, quando multiplicados por
e integrados de
a
, dão zero. Logo a única contribuição não nula virá de
.
Passo 4
Calculemos então
Assim
Ao integrar em
de
a
,
Portanto