Usando o teorema de Green calcular
\oint_{C} F \cdot d r
onde F=\left(y^{3}, x^{2} y+5 y^{2} x\right) e C é a curva x^{2}+2 y^{2}+2 x y=16, no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral de linha
\oint_{C}F\cdot d r
onde F=(P,Q) com P=y^3 e Q=x^2y+5xy^2, e C é a curva fechada dada por
x^2+2xy+2y^2=16
orientada no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green, que diz
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
onde D é a região interna a C.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^2y+5xy^2\bigr) =2xy+5y^2,
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(y^3) =3y^2.
Logo o integrando fica
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =2xy+5y^2-3y^2 =2xy+2y^2 =2y\,(x+y).

Passo 3

A região D é definida por
x^2+2xy+2y^2\le16.
Para eliminar o termo misto xy, fazemos a mudança de variáveis linear
X=x+y,\quad Y=y.
Então
x=X-Y,\quad y=Y,
e a equação da curva passa a ser
(X-Y)^2+2(X-Y)Y+2Y^2 =X^2+Y^2=16,
ou seja, em (X,Y) a região D é o disco X^2+Y^2\le16. O jacobiano dessa transformação é
J=\det\begin{pmatrix} \partial x/\partial X & \partial x/\partial Y\\\ \partial y/\partial X & \partial y/\partial Y \end{pmatrix} =\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 0 & 1\end{pmatrix} =1,
logo dA=dX\,dY.

Passo 4

Escrever o integrando em (X,Y):
2y\,(x+y)=2Y\bigl((X-Y)+Y\bigr)=2XY.
Portanto o integral duplo é
\iint_{D}2y\,(x+y)\,dA =\iint_{X^2+Y^2\le16}2XY\,dX\,dY.
Mas a função 2XY é ímpar em X sobre o disco centrado na origem, então seu integral é zero por simetria.

Resposta

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