Usando o teorema de Green calcular
onde
e
é a curva
, no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o integral de linha
onde
com
e
, e
é a curva fechada dada por
orientada no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green, que diz
onde
é a região interna a
.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais:
Logo o integrando fica
Passo 3
A região
é definida por
Para eliminar o termo misto
, fazemos a mudança de variáveis linear
Então
e a equação da curva passa a ser
ou seja, em
a região
é o disco
. O jacobiano dessa transformação é
logo
.
Passo 4
Escrever o integrando em
:
Portanto o integral duplo é
Mas a função
é ímpar em
sobre o disco centrado na origem, então seu integral é zero por simetria.