Seja S a superficie: x^{2}+(y-\operatorname{sen} z)^{2}=1,0 \leq z \leq \pi / 2. Calcule
\iint_{S} \frac{1}{\sqrt{1+\left(1-x^{2}\right) \cos ^{2} z}} d s

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície\r
\iint_{S}\frac{1}{\sqrt{1+(1-x^{2})\cos^{2}z}}\,d s\r
onde S é dada por\r
\;x^{2}+\bigl(y-\operatorname{sen} z\bigr)^{2}=1,\quad 0\le z\le\frac{\pi}{2}.\r
O tipo de superfície é um cilindro de raio 1 cujo centro em y varia conforme \operatorname{sen} z. Para resolver, vamos parametrizar S por coordenadas angulares e de altura z, calcular o elemento de área d s via produto vetorial e ver que o fator da integral se cancela.

Passo 2

Escolhemos como parâmetros \theta e z com\r
0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le z\le\frac{\pi}{2},
e fazemos a parametrização\r
\mathbf{r}(\theta,z)=\bigl(\cos\theta,\;\operatorname{sen} z+\operatorname{sen}\theta,\;z\bigr).

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes:\r
\mathbf{r}_\theta=(-\operatorname{sen}\theta,\;\cos\theta,\;0), \quad \mathbf{r}_z=(0,\;\cos z,\;1).\r
O produto vetorial é\r
\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z =(\cos\theta,\;\operatorname{sen}\theta,\;-\operatorname{sen}\theta\cos z),\r
e seu módulo dá o elemento de área\r
d s =\bigl\lVert\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z\bigr\rVert\,d\theta\,dz =\sqrt{\cos^{2}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta\cos^{2}z}\;d\theta\,dz =\sqrt{1+\operatorname{sen}^{2}\theta\cos^{2}z}\;d\theta\,dz.

Passo 4

Na integranda temos x=\cos\theta, então\r
1+(1-x^{2})\cos^{2}z =1+\bigl(1-\cos^{2}\theta\bigr)\cos^{2}z =1+\operatorname{sen}^{2}\theta\cos^{2}z.\r
Portanto o fator sob a raiz do denominador é exatamente o mesmo que aparece em d s, e assim\r
\frac{1}{\sqrt{1+(1-x^{2})\cos^{2}z}}\,d s =\frac{1}{\sqrt{1+\operatorname{sen}^{2}\theta\cos^{2}z}} \;\sqrt{1+\operatorname{sen}^{2}\theta\cos^{2}z}\;d\theta\,dz =d\theta\,dz.

Passo 5

A integral fica trivial sobre o retângulo [0,2\pi]\times[0,\pi/2]:\r
\iint_{S}\frac{1}{\sqrt{1+(1-x^{2})\cos^{2}z}}\,d s =\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{2\pi}d\theta\,dz =2\pi\cdot\frac{\pi}{2} =\pi^{2}.

Resposta

\pi^{2}

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