O tipo de superfície é um cilindro de raio 1 cujo centro em y varia conforme \operatorname{sen} z. Para resolver, vamos parametrizar S por coordenadas angulares e de altura z, calcular o elemento de área d s via produto vetorial e ver que o fator da integral se cancela.
d s =\bigl\lVert\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z\bigr\rVert\,d\theta\,dz =\sqrt{\cos^{2}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta\cos^{2}z}\;d\theta\,dz =\sqrt{1+\operatorname{sen}^{2}\theta\cos^{2}z}\;d\theta\,dz.
Portanto o fator sob a raiz do denominador é exatamente o mesmo que aparece em d s, e assim\r
\frac{1}{\sqrt{1+(1-x^{2})\cos^{2}z}}\,d s =\frac{1}{\sqrt{1+\operatorname{sen}^{2}\theta\cos^{2}z}} \;\sqrt{1+\operatorname{sen}^{2}\theta\cos^{2}z}\;d\theta\,dz =d\theta\,dz.
Passo 5
A integral fica trivial sobre o retângulo [0,2\pi]\times[0,\pi/2]:\r
\iint_{S}\frac{1}{\sqrt{1+(1-x^{2})\cos^{2}z}}\,d s =\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{2\pi}d\theta\,dz =2\pi\cdot\frac{\pi}{2} =\pi^{2}.