Questão 5. O valor da integral
\int_{-1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x+2}} d x é:
a) \frac{\pi}{2}
b) \frac{2}{3}
c) -\frac{\pi}{3}
e) 2 \sqrt{2}
f) -\infty
g) \frac{\sqrt{3}}{4}
h) \frac{1}{4}
ख) \infty

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x+2}} \,dx,
que só pode ser mal comportada no limite superior x\to\infty. Vamos verificar a convergência nesse ponto e usar a antiderivada de (x+2)^{-1/2}.

Passo 2

Para encontrar a antiderivada, note que
\frac{d}{dx}\bigl(2\sqrt{x+2}\bigr) =2\cdot\frac{1}{2}(x+2)^{-1/2}\cdot1 =(x+2)^{-1/2}.
Logo, uma primitiva de \frac{1}{\sqrt{x+2}} é 2\sqrt{x+2}.

Passo 3

Avaliamo-la entre -1 e um ponto t> -1:
\int_{-1}^{t} \frac{1}{\sqrt{x+2}}\,dx =2\sqrt{t+2}-2\sqrt{-1+2} =2\sqrt{t+2}-2\cdot1 =2\bigl(\sqrt{t+2}-1\bigr).
Agora tomamos o limite t\to\infty:
\lim_{t\to\infty}2\bigl(\sqrt{t+2}-1\bigr) =\infty,
ou seja, a integral diverge para +\infty.

Resposta

ख) \infty

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