Questão 3. O valor da integral
\int_{-4}^{0} \frac{1}{\sqrt[5]{(x+3)^{6}}} é:
(a) -\infty
(b) 2 \sqrt{3}
(C) \frac{\sqrt{2}}{5}
(d) 6
(f) -1
(g) 0
(h) \frac{2}{3}

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral impropria
\int_{-4}^{0} \frac{1}{\sqrt[5]{(x+3)^{6}}}\,dx
Aqui o ponto x=-3 faz com que (x+3)^{6}=0 e, portanto, o integrando diverge. Vamos usar o critério de p-integral (comparação com \int t^{-p}dt) para ver se a integral converge ou diverge.

Passo 2

Reescrevemos o integrando em forma de potência:
\frac{1}{\sqrt[5]{(x+3)^{6}}} =\bigl((x+3)^{6}\bigr)^{-\tfrac15} =(x+3)^{-\tfrac{6}{5}}.
O problema está em x=-3, onde \,(x+3)^{-6/5}\to\infty. Na vizinhança de x=-3, coloque t=|x+3|; então o integrando comporta-se como t^{-6/5}.

Passo 3

O teste de p-integral diz que
\int_{0}^{\varepsilon} t^{-p}\,dt
converge somente se p<1. Aqui temos p=\tfrac{6}{5}>1, logo
\int_{0}^{\varepsilon} t^{-\tfrac{6}{5}}\,dt
diverge. Isso significa que
\int_{-4}^{-3}(x+3)^{-\tfrac{6}{5}}\,dx \quad\text{e}\quad \int_{-3}^{0}(x+3)^{-\tfrac{6}{5}}\,dx
são cada uma divergentes.

Passo 4

Como o integrando é positivo e singular em x=-3 com p>1, a integral impropria diverge para +\infty. Não há valor finito.

Resposta

(a) -\infty (a integral não converge)

Exercícios relacionados