Seja
a superfície esférica de raio
com centro na origem da espaço
. Se a densidade de área sobre a esfera é dada por
, calcule a massa dessa superfície.
Passo 1
O enunciado dá a superfície
que é a esfera de raio
centrada na origem em
e a densidade de área
Queremos calcular a massa dessa superfície, ou seja, o integral de superfície de uma função escalar. Para isso vamos usar a fórmula
e explorar a simetria da esfera.
Passo 2
Escrevendo o integral de massa e separando as parcelas, temos
Agora vamos avaliar cada uma dessas integrais independentemente.
Passo 3
Para
podemos usar simetria: numa esfera de raio
, por igualdade de tratamento de
,
e
, vale
Como são três parcelas iguais,
Passo 4
Para
note que a esfera é simétrica em relação ao plano
. As contribuições positivas de
cancelam as de
, logo
Passo 5
Somando as duas parcelas, a massa fica