Seja S a superfície esférica de raio a com centro na origem da espaço x y z. Se a densidade de área sobre a esfera é dada por f(x, y, z)=x^{2}+z, calcule a massa dessa superfície.

Passo 1

O enunciado dá a superfície S que é a esfera de raio a centrada na origem em \mathbb{R}^3 e a densidade de área
f(x,y,z)=x^2+z.
Queremos calcular a massa dessa superfície, ou seja, o integral de superfície de uma função escalar. Para isso vamos usar a fórmula
M=\iint_{S}f(x,y,z)\,dS
e explorar a simetria da esfera.

Passo 2

Escrevendo o integral de massa e separando as parcelas, temos
M=\iint_{S}(x^2+z)\,dS =\iint_{S}x^2\,dS \;+\;\iint_{S}z\,dS.
Agora vamos avaliar cada uma dessas integrais independentemente.

Passo 3

Para \displaystyle \iint_{S}x^2\,dS podemos usar simetria: numa esfera de raio a, por igualdade de tratamento de x, y e z, vale
\iint_{S}x^2\,dS =\iint_{S}y^2\,dS =\iint_{S}z^2\,dS \quad\text{e}\quad \iint_{S}(x^2+y^2+z^2)\,dS =a^2\cdot\text{Área}(S) =a^2\cdot4\pi a^2 =4\pi a^4.Á
Como são três parcelas iguais,
\iint_{S}x^2\,dS =\frac{1}{3}\,4\pi a^4 =\frac{4\pi a^4}{3}.

Passo 4

Para \displaystyle \iint_{S}z\,dS note que a esfera é simétrica em relação ao plano z=0. As contribuições positivas de z>0 cancelam as de z<0, logo
\iint_{S}z\,dS=0.

Passo 5

Somando as duas parcelas, a massa fica
M =\iint_{S}x^2\,dS+\iint_{S}z\,dS =\frac{4\pi a^4}{3}+0 =\frac{4\pi a^4}{3}.

Resposta

\frac{4\pi a^4}{3}

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