Calcule \iint_{S}(F . n) d s onde
F(x, y, z)=\frac{(x, y, z)}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}}+(x, 0,0)
e S é parte da superfície z^{2}=4-x^{2}-y^{2} com z \geq 0, orientada de modo que n é tal que n. (0,0,1)>0.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\iint_{S}F\cdot n\,dS
onde
F(x,y,z)=\frac{(x,y,z)}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}+(x,0,0)
e S é a hemisfera x^2+y^2+z^2=4, z\ge0, orientada para fora (isto é, tal que n\cdot(0,0,1)>0). Vamos usar que S é a metade da esfera de raio 2 e decompor F=F_1+F_2 com
F_1=\frac{(x,y,z)}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}, \quad F_2=(x,0,0).

Passo 2

Cálculo do fluxo de F_1. Conhecemos que, para a esfera completa de raio 2,
\iint_{\text{esfera}}F_1\cdot n\,dS =4\pi.
Como queremos só a metade superior e a orientação coincide com a saída da esfera, temos
\iint_{\text{hemisfera}}F_1\cdot n\,dS =\frac12\cdot4\pi =2\pi.

Passo 3

Cálculo do fluxo de F_2. Seja V o volume da meia-bola x^2+y^2+z^2\leq 4, z\geq 0. Pela divergência,
\iiint_{V} \nabla \cdot F_2 \, dV = \iint_{S} F_2 \cdot n \, dS + \iint_{D} F_2 \cdot n \, dS,
onde D é o disco de raio 2 em z=0 (com normal para baixo, -\mathbf{k}). Como \nabla \cdot F_2 = \partial x / \partial x = 1,
\iiint_{V} 1 \, dV = \frac{2}{3} \pi (2)^3 = \frac{16 \pi}{3}.
No disco D, temos F_2 \cdot n = (x,0,0) \cdot (0,0,-1) = 0. Logo
\iint_{S} F_2 \cdot n \, dS = \frac{16 \pi}{3}.

Passo 4

Somando os dois resultados,
\iint_{S}F\cdot n\,dS =\iint_{S}F_1\cdot n\,dS+\iint_{S}F_2\cdot n\,dS =2\pi+\frac{16\pi}3 =\frac{22\pi}3.

Resposta

\displaystyle \frac{22\pi}3

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