Calcule
onde
e
é parte da superfície
com
, orientada de modo que
é tal que n.
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo
onde
e
é a hemisfera
,
, orientada para fora (isto é, tal que
). Vamos usar que
é a metade da esfera de raio
e decompor
com
Passo 2
Cálculo do fluxo de
. Conhecemos que, para a esfera completa de raio
,
Como queremos só a metade superior e a orientação coincide com a saída da esfera, temos
Passo 3
Cálculo do fluxo de
. Seja
o volume da meia-bola
,
. Pela divergência,
onde
é o disco de raio
em
(com normal para baixo,
). Como
,
No disco
, temos
. Logo
Passo 4
Somando os dois resultados,