CONSIDERE a A CURVA DADA POR x=2 sent
y=2 \cos t, \operatorname{con} t \in[0, \pi]. CALCULE \int_{c} \vec{F} \cdot \overrightarrow{d e}, ONDE
F(x, y)=\left(x^{2} \ln \left(x^{2}+1\right)+6 x y^{2}-y\right) \hat{\imath}+\left[\frac{1}{y+3}+(6 y+1) x^{2}+y^{2}\right] \hat{\jmath}

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r
onde \vec F(x,y)=\bigl(P(x,y),Q(x,y)\bigr) com
P(x,y)=x^{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+6xy^{2}-y, \quad Q(x,y)=\frac{1}{y+3}+(6y+1)x^{2}+y^{2},
e a curva C é dada pela parametrização
x(t)=2,\quad y(t)=2\cos t, \quad t\in[0,\pi].
Para resolver, vamos usar a definição de integral de linha paramétrica:
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r =\int_{0}^{\pi}\vec F\bigl(x(t),y(t)\bigr)\cdot \frac{d\vec r}{dt}\,dt.

Passo 2

Escrevendo a parametrização em vetor e sua derivada:
\vec r(t)=(2,\,2\cos t), \quad \frac{d\vec r}{dt}=(0,\,-2\sin t).
Logo
\vec F\bigl(x(t),y(t)\bigr)\cdot \frac{d\vec r}{dt} =P\bigl(2,2\cos t\bigr)\cdot0 +Q\bigl(2,2\cos t\bigr)\cdot(-2\sin t) =-2\,Q(2,2\cos t)\,\sin t.

Passo 3

Calculamos
Q\bigl(2,y\bigr) =\frac{1}{y+3}+(6y+1)\,2^{2}+y^{2} =\frac{1}{y+3}+4(6y+1)+y^{2} =y^{2}+24y+4+\frac{1}{y+3},
com y=2\cos t. Então
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r =-2\int_{0}^{\pi}\Bigl[4\cos^{2}t+48\cos t+4+\frac{1}{2\cos t+3}\Bigr]\sin t\,dt.
Vamos dividir em duas partes:
I_{1}=-2\int_{0}^{\pi}(4\cos^{2}t+48\cos t+4)\sin t\,dt, \quad I_{2}=-2\int_{0}^{\pi}\frac{\sin t}{2\cos t+3}\,dt.

Passo 4

Para I_{1}, use u=\cos t, du=-\sin t\,dt.
Quando t=0, u=1; quando t=\pi, u=-1.
I_{1} =-2\int_{0}^{\pi}(4\cos^{2}t+48\cos t+4)\sin t\,dt =-2\int_{1}^{-1}(4u^{2}+48u+4)(-du) =-2\int_{-1}^{1}(4u^{2}+48u+4)\,du.
Calculemos
\int_{-1}^{1}4u^{2}\,du=\frac{8}{3},\quad \int_{-1}^{1}48u\,du=0,\quad \int_{-1}^{1}4\,du=8,
logo \int_{-1}^{1}(4u^{2}+48u+4)\,du=\frac{8}{3}+8=\frac{32}{3}.
Portanto
I_{1}=-2\cdot\frac{32}{3}=-\frac{64}{3}.

Passo 5

Para I_{2}, use v=2\cos t+3, então dv=-2\sin t\,dt.
Quando t=0, v=5; quando t=\pi, v=1.
I_{2} =-2\int_{0}^{\pi}\frac{\sin t}{2\cos t+3}\,dt =-2\int_{5}^{1}\frac{-dv/2}{v} =\int_{5}^{1}\frac{dv}{v} =\ln v\Big|_{5}^{1} =-\ln(5).

Passo 6

Somando ambas as partes,
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r=I_{1}+I_{2} =-\frac{64}{3}-\ln(5).

Resposta

\boxed{ \int_{C}\vec F\cdot d\vec r =-\frac{64}{3}-\ln(5). }

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