Usando a fórmula de Euler, mostre que
e^{i \frac{\pi}{2}}=\mathfrak{i}

Passo 1

O enunciado pede que, usando a fórmula de Euler, mostremos que
e^{i\frac{\pi}{2}}=\mathfrak{i}.
O conteúdo que vamos usar é a fórmula de Euler:
e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta).

Passo 2

Aplicando \theta=\tfrac{\pi}{2} na fórmula de Euler, obtemos
e^{i\frac{\pi}{2}}=\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)+i\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Como \cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0 e \sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1, segue que
e^{i\frac{\pi}{2}}=0+i\cdot1=\mathfrak{i}.

Resposta

e^{i\frac{\pi}{2}}=\mathfrak{i}.

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