Usando a fórmula de Euler, mostre que
e^{\ln 2+i \frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}+i \sqrt{2}

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que
e^{\ln 2 + i\frac{\pi}{4}} = \sqrt{2} + i\sqrt{2}.
O conteúdo que vamos usar é a fórmula de Euler para expoente complexo, que diz que
e^{x + i y} = e^{x}\bigl(\cos y + i\,\sin y\bigr).

Passo 2

Aplicando essa fórmula a x = \ln 2 e y = \tfrac{\pi}{4}, temos
e^{\ln 2 + i\frac{\pi}{4}} = e^{\ln 2}\bigl(\cos\tfrac{\pi}{4} + i\,\sin\tfrac{\pi}{4}\bigr).

Passo 3

Calcular cada parte:
e^{\ln 2} = 2, \quad \cos\tfrac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin\tfrac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Substituindo na expressão, obtemos
e^{\ln 2 + i\frac{\pi}{4}} = 2\Bigl(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\,\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr) = \sqrt{2} + i\,\sqrt{2}.

Resposta

\sqrt{2} + i\sqrt{2}

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