Colcule \iint e^{x y} d A, onde \Omega=[1,5] \times[2,3] \Omega

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{\Omega} e^{x y}\,dA
sobre o retângulo \Omega = [1,5]\times[2,3]. Vamos usar o Teorema de Fubini para transformar em uma integral iterada e, em seguida, empregar a função integral exponencial.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, podemos escrever
\iint_{\Omega} e^{x y}\,dA = \int_{x=1}^{5}\Bigl(\int_{y=2}^{3}e^{x y}\,dy\Bigr)\,dx.

Passo 3

Na integral interna
\int_{y=2}^{3}e^{x y}\,dy,
tratamos x como constante. Sabemos que
\int e^{x y}\,dy = \frac{1}{x}\,e^{x y}.
Logo, avaliando de y=2 a y=3, obtemos
\int_{y=2}^{3}e^{x y}\,dy = \frac{1}{x}\bigl(e^{3x}-e^{2x}\bigr).

Passo 4

Substituindo na integral em x, resta
\int_{x=1}^{5}\frac{e^{3x}-e^{2x}}{x}\,dx.

Passo 5

Reconhecemos que
\int \frac{e^{a x}}{x}\,dx = \operatorname{Ei}(a x),
onde \operatorname{Ei} é a integral exponencial. Assim,
\int \frac{e^{3x}}{x}\,dx = \operatorname{Ei}(3x), \quad \int \frac{e^{2x}}{x}\,dx = \operatorname{Ei}(2x).
Portanto a integral em x fica
\Bigl[\operatorname{Ei}(3x)-\operatorname{Ei}(2x)\Bigr]_{x=1}^{5}.

Passo 6

Avaliando em x=5 e em x=1, obtém-se
\bigl(\operatorname{Ei}(15)-\operatorname{Ei}(10)\bigr) -\bigl(\operatorname{Ei}(3)-\operatorname{Ei}(2)\bigr).

Resposta

\iint_{\Omega} e^{x y}\,dA = \operatorname{Ei}(15)\;-\;\operatorname{Ei}(10)\;-\;\operatorname{Ei}(3)\;+\;\operatorname{Ei}(2).

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