Uma codorna anda à margem de um rio, representado no plano \mathbb{R}^{2} pelo eixo x, que está coberta de lama. A lama fica cada vez mais pegajosa quanto mais próxima do rio, de modo que a cada instante a velocidade da codorna é diretamente proporcional à sua distância ao rio, ou seja, à ordenada de sua posição. Suponha que a codorna quer ir do ponto A=(9 \sqrt{3}, 9) ao ponto B=(0,18). Suponha que a codorna leva 90 segundos para ir em linha reta de A até B. Se ela caminhar ao longo do menor arco de circunferência com centro na origem (0,0) e que passa por A e B, quanto segundos ela levará?
a 90 \log _{3}(2+\sqrt{3})
b 45 \log _{2}(2+\sqrt{3})
(c) 9 \sqrt{3} \log _{3}(2+\sqrt{3})
(d) 9 \sqrt{3} \log _{3}(2+\sqrt{3})
(e) 45 \sqrt{2} \log _{3}(2+\sqrt{3})

Passo 1

O enunciado diz que a codorna se move no plano \mathbb{R}^2 com velocidade v diretamente proporcional à ordenada y de sua posição, isto é
v = k\,y
para alguma constante k>0. Ela vai de A=(9\sqrt3,9) a B=(0,18). Sabemos que, seguindo a reta AB, o tempo gasto é 90 s. Vamos usar isso para achar k e depois calcular o tempo se ela seguir o menor arco de circunferência de centro na origem passando por A e B.

Passo 2

Parâmetros da reta AB: tome t\in[0,1],
x(t)=9\sqrt3\,(1-t),\quad y(t)=9+9t=9(1+t).
Então
\mathrm{d}s=\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2+\bigl(y'(t)\bigr)^2}\,\mathrm{d}t =\sqrt{( -9\sqrt3)^2+9^2}\,\mathrm{d}t =18\,\mathrm{d}t.
O tempo ao longo da reta é
T_{\rm reta}=\int_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}s}{v} =\int_{0}^{1}\frac{18\,\mathrm{d}t}{k\cdot 9(1+t)} =\frac{2}{k}\int_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}t}{1+t} =\frac{2}{k}\ln 2.
Como T_{\rm reta}=90, segue
\frac{2}{k}\ln2=90 \quad\Longrightarrow\quad \frac1k=\frac{45}{\ln2}.

Passo 3

A circunferência tem raio R=\|A\|=\sqrt{(9\sqrt3)^2+9^2}=18. Os ângulos polares de A e B são \theta_A=\pi/6 e \theta_B=\pi/2. No arco de \theta\in[\pi/6,\pi/2],
x=18\cos\theta,\quad y=18\sin\theta, \quad \mathrm{d}s=18\,\mathrm{d}\theta.
O tempo ao longo do arco é
T_{\rm arco} =\int_{\pi/6}^{\pi/2}\frac{\mathrm{d}s}{v} =\int_{\pi/6}^{\pi/2}\frac{18\,\mathrm{d}\theta}{k\cdot 18\sin\theta} =\frac{1}{k}\int_{\pi/6}^{\pi/2}\csc\theta\,\mathrm{d}\theta.

Passo 4

Usamos a primitiva \displaystyle\int\csc\theta\,\mathrm{d}\theta=-\ln\bigl(\csc\theta+\cot\theta\bigr). Logo,
\int_{\pi/6}^{\pi/2}\csc\theta\,\mathrm{d}\theta =\Bigl[-\ln\bigl(\csc\theta+\cot\theta\bigr)\Bigr]_{\pi/6}^{\pi/2} =\ln\bigl(\csc(\pi/6)+\cot(\pi/6)\bigr) =\ln\bigl(2+\sqrt3\bigr).

Passo 5

Substituindo em T_{\rm arco} e usando \tfrac1k=45/\ln2, obtemos
T_{\rm arco} =\frac{1}{k}\,\ln(2+\sqrt3) =\frac{45}{\ln2}\,\ln(2+\sqrt3) =45\,\frac{\ln(2+\sqrt3)}{\ln2} =45\log_{2}(2+\sqrt3).

Resposta

45\log_{2}(2+\sqrt{3}) (alternativa b)

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