Uma codorna anda à margem de um rio, representado no plano
pelo eixo
, que está coberta de lama. A lama fica cada vez mais pegajosa quanto mais próxima do rio, de modo que a cada instante a velocidade da codorna é diretamente proporcional à sua distância ao rio, ou seja, à ordenada de sua posição. Suponha que a codorna quer ir do ponto
ao ponto
. Suponha que a codorna leva 90 segundos para ir em linha reta de
até
. Se ela caminhar ao longo do menor arco de circunferência com centro na origem
e que passa por
e
, quanto segundos ela levará?
a
b
(c)
(d)
(e)
a
b
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado diz que a codorna se move no plano
com velocidade
diretamente proporcional à ordenada
de sua posição, isto é
para alguma constante
. Ela vai de
a
. Sabemos que, seguindo a reta
, o tempo gasto é
s. Vamos usar isso para achar
e depois calcular o tempo se ela seguir o menor arco de circunferência de centro na origem passando por
e
.
Passo 2
Parâmetros da reta
: tome
,
Então
O tempo ao longo da reta é
Como
, segue
Passo 3
A circunferência tem raio
. Os ângulos polares de
e
são
e
. No arco de
,
O tempo ao longo do arco é
Passo 4
Usamos a primitiva
. Logo,
Passo 5
Substituindo em
e usando
, obtemos