Calcule \iint_{S} f(x, y, z) d s.
f(x, y, z)=x+y, S a porção do plano 2 x+3 y+z=6 situada no primeiro octante.
f(x, y, z)=x+y, S a porção do plano 2 x+3 y+z=6 situada no primeiro octante.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
e
é a porção do plano
no primeiro octante
,
,
.
Conteúdo: integral de superfície de uma função escalar. Vamos projetar no plano
e usar
Conteúdo: integral de superfície de uma função escalar. Vamos projetar
Passo 2
Expressamos
em função de
:
Calculamos as derivadas parciais:
Logo
Passo 3
A região de projeção
no plano
vem de
,
e
.
Assim
Assim
Passo 4
Substituindo em
:
Agora calculamos
.
Passo 5
Escrevemos
como integral iterada:
Para cada
:
Então
Passo 6
Voltando à integral de superfície: