Calcule \iint_{S} f(x, y, z) d s.
f(x, y, z)=x+y, S a porção do plano 2 x+3 y+z=6 situada no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{S}f(x,y,z)\,ds
onde f(x,y,z)=x+y e S é a porção do plano
2x+3y+z=6
no primeiro octante x\ge0, y\ge0, z\ge0.
Conteúdo: integral de superfície de uma função escalar. Vamos projetar S no plano xy e usar
ds=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dx\,dy.

Passo 2

Expressamos z em função de x,y:
z=6-2x-3y.
Calculamos as derivadas parciais:
z_x=-2,\quad z_y=-3.
Logo
ds=\sqrt{1+(-2)^2+(-3)^2}\,dx\,dy=\sqrt{14}\,dx\,dy.

Passo 3

A região de projeção D no plano xy vem de x\ge0, y\ge0 e z\ge0\Rightarrow2x+3y\le6.
Assim
D=\bigl\{(x,y)\mid 0\le x\le3,\;0\le y\le\frac{6-2x}{3}\bigr\}.

Passo 4

Substituindo em \iint_S:
\iint_{S}(x+y)\,ds =\iint_{D}(x+y)\,\sqrt{14}\,dx\,dy =\sqrt{14}\iint_{D}(x+y)\,dx\,dy.
Agora calculamos \displaystyle I=\iint_{D}(x+y)\,dx\,dy.

Passo 5

Escrevemos I como integral iterada:
I=\int_{x=0}^{3}\int_{y=0}^{\frac{6-2x}{3}}(x+y)\,dy\,dx.
Para cada x:
\int_{0}^{\frac{6-2x}{3}}(x+y)\,dy =\Bigl[x\,y+\tfrac12y^2\Bigr]_{0}^{\frac{6-2x}{3}} =\frac{6x-2x^2}{3}+\frac{(6-2x)^2}{18} =\frac{36+12x-8x^2}{18}.
Então
I =\int_{0}^{3}\frac{36+12x-8x^2}{18}\,dx =\frac{1}{18}\Bigl[36x+6x^2-\tfrac{8}{3}x^3\Bigr]_{0}^{3} =\frac{90}{18}=5.

Passo 6

Voltando à integral de superfície:
\iint_{S}(x+y)\,ds =\sqrt{14}\,I =5\sqrt{14}.

Resposta

5\sqrt{14}

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