O sinal y(t) é gerado pela convolução de um sinal de banda limitada x_{1}(t) com outro sinal de banda limitada x_{2}(t), ou seja:
y(t)=x_{1}(t) * x_{2}(t)
Sendo: X_{1}(j w)=0 para |w|>1000 \pi
X_{2}(j w)=0 \text { para }|w|>2000 \pi
A amostragem por trem de impulsos é realizada sobre y(t). Especifique o intervalo de valores para o período de amostragem T, que garante que o sinal possa ser reconstruído através de suas amostras.

Passo 1

O enunciado diz que
y(t)=x_{1}(t)*x_{2}(t)
onde x_{1}(t) é limitado em frequência a |\omega|\le1000\pi e x_{2}(t) a |\omega|\le2000\pi. Precisamos achar o maior conteúdo em frequência de y(t) e então aplicar o Teorema de Amostragem de Nyquist para determinar o intervalo de amostragem T que garanta reconstrução perfeita.

Passo 2

Pelo Teorema da Convolução, a transformada de Fourier de y(t) é o produto das transformadas:
Y(j\omega)=X_{1}(j\omega)\,X_{2}(j\omega).
Esse produto só pode ser diferente de zero onde ambos os fatores são não nulos, ou seja, em
|\omega|\le\min(1000\pi,\,2000\pi)=1000\pi.
Logo y(t) é band-limited a \omega_{m}=1000\pi rad/s.

Passo 3

Para reconstruir y(t) sem aliasing, a frequência de amostragem \omega_{s} deve satisfazer
\omega_{s} > 2\,\omega_{m}.
Como \omega_{s}=2\pi/T, temos
\frac{2\pi}{T} > 2\,(1000\pi).

Passo 4

Isolando T na desigualdade:
\frac{2\pi}{T} > 2000\pi \quad\Longrightarrow\quad T < \frac{2\pi}{2000\pi} = \frac{1}{1000}\,\text{s}.

Resposta

O período de amostragem deve satisfazer
0 < T < 10^{-3}\,\text{s}.
Assim garante-se que não haverá aliasing e que y(t) pode ser restaurado a partir de suas amostras.

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