Use a notação de somatório para escrever a série de Taylor em torno de x=x_{0} da função dada.
\operatorname{sen} \pi x ; x_{0}=\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=\sin(\pi x) em torno de x_{0}=\tfrac12. Em geral, a série de Taylor de uma função f em torno de x_{0} é
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}\,(x-x_{0})^{n}.
Aqui vamos aproveitar uma transformação trigonométrica para simplificar o processo.

Passo 2

Note que
\sin(\pi x)=\sin\!\bigl(\pi\cdot\tfrac12+\pi(x-\tfrac12)\bigr) =\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}+u\bigr), \quad\text{onde }u=\pi\bigl(x-\tfrac12\bigr).
Como \sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}+u\bigr)=\cos(u), segue
\sin(\pi x)=\cos\bigl(\pi(x-\tfrac12)\bigr).

Passo 3

Lembramos a série de Maclaurin para \cos(u):
\cos(u)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{u^{2k}}{(2k)!}.

Passo 4

Basta agora substituir u=\pi(x-\tfrac12) nessa série:
\cos\bigl(\pi(x-\tfrac12)\bigr) =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\, \frac{\bigl[\pi(x-\tfrac12)\bigr]^{2k}}{(2k)!} =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\, \frac{\pi^{2k}}{(2k)!}\,(x-\tfrac12)^{2k}.
Isso é exatamente a expansão de \sin(\pi x) em torno de x_{0}=\tfrac12.

Resposta

\sin(\pi x) =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\, \frac{\pi^{2k}}{(2k)!}\,\bigl(x-\tfrac12\bigr)^{2k}.

Exercícios relacionados