Em um material dielétrico o campo elétrico vale \boldsymbol{E}=5 \mathbf{a}_{x} \mathrm{~V} / \mathrm{m} \mathrm{e} a polarização é \boldsymbol{P}=\frac{1}{10 \pi}\left(3 \mathbf{a}_{x}-\mathbf{a}_{y}+4 \mathbf{a}_{z}\right) \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2}. Determine:
a) A suscetibilidade do material;
b) O campo elétrico;
c) A densidade de fluxo elétrico.

Passo 1

O enunciado dá um material dielétrico no qual o campo elétrico e a polarização são
\mathbf{E}=5\,\mathbf{a}_x\\ \mathrm{V/m}, \qquad \mathbf{P}=\frac{1}{10\pi}\bigl(3\,\mathbf{a}_x-\mathbf{a}_y+4\,\mathbf{a}_z\bigr)\,\mathrm{nC/m^2}.
Queremos encontrar a) a susceptibilidade elétrica \chi_e, b) a permissividade absoluta \varepsilon do material, e c) a densidade de fluxo elétrico \mathbf{D}. Vamos usar as relações clássicas
\mathbf{P}=\varepsilon_0\,\chi_e\,\mathbf{E}, \qquad \varepsilon=\varepsilon_0\bigl(1+\chi_e\bigr), \qquad \mathbf{D}=\varepsilon_0\,\mathbf{E}+\mathbf{P}.

Passo 2

Calculamos \chi_e examinando a componente x de \mathbf{P}=\varepsilon_0\chi_e\mathbf{E}. Temos
P_x=\frac{3}{10\pi}\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^2}, \qquad E_x=5\\ \mathrm{V/m}, \qquad \varepsilon_0=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
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\chi_e=\frac{P_x}{\varepsilon_0\,E_x} =\frac{\frac{3}{10\pi}\,10^{-9}}{8{,}854\times10^{-12}\times5} \approx2{,}16.

Passo 3

A permissividade absoluta do material é
\varepsilon=\varepsilon_0\bigl(1+\chi_e\bigr) =8{,}854\times10^{-12}\bigl(1+2{,}16\bigr) \approx2{,}80\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}.

Passo 4

Finalmente, a densidade de fluxo elétrico é
\mathbf{D}=\varepsilon_0\,\mathbf{E}+\mathbf{P} =8{,}854\times10^{-12}\times5\,\mathbf{a}_x +\frac{1}{10\pi}\bigl(3\,\mathbf{a}_x-\mathbf{a}_y+4\,\mathbf{a}_z\bigr)\times10^{-9}.
Convertendo em unidades homogêneas,
\mathbf{D} =\bigl(44{,}27+95{,}49\bigr)\times10^{-12}\,\mathbf{a}_x -31{,}83\times10^{-12}\,\mathbf{a}_y +127{,}38\times10^{-12}\,\mathbf{a}_z \\ \mathrm{C/m^2},
\mathbf{D} \approx(1{,}398\,\mathbf{a}_x-0{,}0318\,\mathbf{a}_y+1{,}274\,\mathbf{a}_z)\times10^{-10}\\ \mathrm{C/m^2}.

Resposta

a) \chi_e\approx2{,}16
b) \varepsilon\approx2{,}80\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}
c) \displaystyle \mathbf{D}\approx(1{,}398\,\mathbf{a}_x-0{,}0318\,\mathbf{a}_y+1{,}274\,\mathbf{a}_z)\times10^{-10}\\ \mathrm{C/m^2}

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