Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada.
e
.
Passo 1
O enunciado fornece a parametrização
com as restrições do domínio
,
e
.
A pergunta é: identificar a superfície descrita por essa parametrização (ou seja, dizer qual é a superfície geométrica e qual porção dela está sendo descrita).
A pergunta é: identificar a superfície descrita por essa parametrização (ou seja, dizer qual é a superfície geométrica e qual porção dela está sendo descrita).
Passo 2
Escrevendo as coordenadas em função dos parâmetros temos, componente a componente,
Aqui cada letra representa a coordenada cartesiana usual:
é a coordenada na direção de
,
na direção de
e
na direção de
.
Passo 3
A partir das expressões de
podemos eliminar
e
. Somando as três coordenadas:
Portanto todos os pontos da parametrização satisfazem a equação
ou seja, os pontos estão sobre o plano
.
Passo 4
Para reforçar a ideia e obter a normal do plano, calculamos as derivadas parciais da parametrização:
O produto vetorial
fornece um vetor normal ao plano:
Um vetor normal
corresponde exatamente à equação
. Para achar
usamos um ponto da superfície: para
obtemos o ponto
, que dá
, logo
. Novamente obtemos
.
Passo 5
Agora convertemos as condições do domínio em condições nas coordenadas: como
e
e
significa
,
e
. A coordenada
então vale
, que é
quando
. Portanto os pontos descritos formam a região triangular do plano
situada no primeiro octante (onde
).
Passo 6
Identificamos os vértices dessa região triangular encontrando os extremos do domínio:
Logo a superfície é exatamente o triângulo com vértices
,
e
contido no plano
.
Resposta
A superfície é a região triangular do plano
limitada pelos vértices
,
e
; equivalentemente, o conjunto
.