Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada.
\vec{r}(u, v)=(u) \vec{i}+(v) \vec{j}+(1-v-u) \vec{k}, \operatorname{com} u \geq 0, v \geq 0 e u+v \leq 1.

Passo 1

O enunciado fornece a parametrização
\vec{r}(u,v) = (u)\,\vec{i} + (v)\,\vec{j} + (1 - v - u)\,\vec{k},
com as restrições do domínio u \ge 0, v \ge 0 e u+v \le 1.
A pergunta é: identificar a superfície descrita por essa parametrização (ou seja, dizer qual é a superfície geométrica e qual porção dela está sendo descrita).

Passo 2

Escrevendo as coordenadas em função dos parâmetros temos, componente a componente,
x = u,\qquad y = v,\qquad z = 1 - u - v.
Aqui cada letra representa a coordenada cartesiana usual: x é a coordenada na direção de \vec{i}, y na direção de \vec{j} e z na direção de \vec{k}.

Passo 3

A partir das expressões de x,y,z podemos eliminar u e v. Somando as três coordenadas:
x+y+z = u + v + (1 - u - v) = 1.
Portanto todos os pontos da parametrização satisfazem a equação
x+y+z = 1,
ou seja, os pontos estão sobre o plano \,x+y+z=1.

Passo 4

Para reforçar a ideia e obter a normal do plano, calculamos as derivadas parciais da parametrização:
\vec{r}_u = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = (1,0,-1),\qquad \vec{r}_v = \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = (0,1,-1).
O produto vetorial \vec{r}_u\times\vec{r}_v fornece um vetor normal ao plano:
\vec{r}_u\times\vec{r}_v = (1,1,1).
Um vetor normal (1,1,1) corresponde exatamente à equação 1\cdot x + 1\cdot y + 1\cdot z = C. Para achar C usamos um ponto da superfície: para u=0,v=0 obtemos o ponto (0,0,1), que dá 0+0+1=C, logo C=1. Novamente obtemos x+y+z=1.

Passo 5

Agora convertemos as condições do domínio em condições nas coordenadas: como u=x\ge 0 e v=y\ge 0 e u+v\le 1 significa x\ge 0, y\ge 0 e x+y\le 1. A coordenada z então vale z=1-x-y, que é \ge 0 quando x+y\le 1. Portanto os pontos descritos formam a região triangular do plano x+y+z=1 situada no primeiro octante (onde x,y,z\ge 0).

Passo 6

Identificamos os vértices dessa região triangular encontrando os extremos do domínio:
(u,v)=(0,0)\mapsto (0,0,1),\qquad (u,v)=(1,0)\mapsto (1,0,0),\qquad (u,v)=(0,1)\mapsto (0,1,0).
Logo a superfície é exatamente o triângulo com vértices (0,0,1), (1,0,0) e (0,1,0) contido no plano \,x+y+z=1.

Resposta

A superfície é a região triangular do plano x+y+z=1 limitada pelos vértices (0,0,1), (1,0,0) e (0,1,0); equivalentemente, o conjunto \{(x,y,z)\mid x+y+z=1,\;x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0\}.

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