Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada.
\vec{r}(u, v)=(u+v) \vec{i}+(3-v) \vec{j}+(1+4 u+4 v) \vec{k}

Passo 1

O enunciado dá a equação paramétrica
\vec{r}(u,v) = (u+v)\,\vec{i} + (3-v)\,\vec{j} + (1+4u+4v)\,\vec{k}.
O que o problema pede: identificar a superfície descrita por essa parametrização — isto é, encontrar a equação cartesiana (e uma descrição geométrica) da superfície.
Informações relevantes que temos (extraídas diretamente do enunciado):
x = u+v,
y = 3 - v,
z = 1 + 4u + 4v.

Passo 2

Estratégia para identificar a superfície: eliminar os parâmetros u e v das três equações acima para obter uma relação entre x,y,z. Isso nos dará a equação cartesiana da superfície. Vou eliminar u e v de forma direta, passo a passo.

Passo 3

Isolar v a partir da equação para y. Da equação
y = 3 - v,
isolamos v somando v dos dois lados e subtraindo y:
v = 3 - y.
Explicação rápida: isso é só álgebra linear simples — movemos termos para obter v em função de y.

Passo 4

Usar a equação para x para obter u. Como x = u+v, temos
u = x - v.
Substituindo a expressão de v encontrada no Passo 3,
u = x - (3 - y) = x - 3 + y = x + y - 3.
Agora expressamos u e v em termos de x e y.

Passo 5

Substituir u e v na equação de z para eliminar os parâmetros. A equação para z é
z = 1 + 4u + 4v.
Observe que 4u+4v = 4(u+v) e que u+v = x (pela equação de x). Então podemos simplificar sem precisar substituir u e v individualmente:
z = 1 + 4(u+v) = 1 + 4x.
Isso já é uma equação cartesiana relacionando x e z; note que y não aparece.

Passo 6

Interpretar a equação obtida. A relação
z = 1 + 4x
é a equação de um plano. Como y não aparece na equação, o plano é paralelo ao eixo y (ou seja, contém todas as direções paralelas a y). Podemos também escrever a forma padrão do plano reunindo todos os termos à esquerda:
z - 4x - 1 = 0,
ou multiplicando por -1,
4x - z + 1 = 0.
O vetor normal a esse plano é (4,0,-1), o que pode ser verificado também calculando os vetores tangentes \vec{r}_u e \vec{r}_v e fazendo o produto vetorial entre eles:
\vec{r}_u = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = \langle 1,0,4\rangle,\qquad \vec{r}_v = \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = \langle 1,-1,4\rangle,
\vec{r}_u \times \vec{r}_v = \langle 4,0,-1\rangle,
que é exatamente um vetor normal ao plano.

Passo 7

Verificação por exemplos de pontos: escolha valores de u,v e veja se o ponto resultante satisfaz z = 1 + 4x.
  • Para u=0,\;v=0 temos \vec{r}(0,0)=(0,3,1). Verificando: z=1 e 1+4x=1+4\cdot0=1 OK.
  • Para u=1,\;v=0 temos \vec{r}(1,0)=(1,3,5). Verificando: z=5 e 1+4x=1+4\cdot1=5 OK.
    Isso confirma que a parametrização descreve o plano determinado por z=1+4x.

Resposta

Plano: z = 1 + 4x

Exercícios relacionados