Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada.
Passo 1
O enunciado dá a equação paramétrica
O que o problema pede: identificar a superfície descrita por essa parametrização — isto é, encontrar a equação cartesiana (e uma descrição geométrica) da superfície.
Informações relevantes que temos (extraídas diretamente do enunciado):
Informações relevantes que temos (extraídas diretamente do enunciado):
Passo 2
Estratégia para identificar a superfície: eliminar os parâmetros
e
das três equações acima para obter uma relação entre
. Isso nos dará a equação cartesiana da superfície. Vou eliminar
e
de forma direta, passo a passo.
Passo 3
Isolar
a partir da equação para
. Da equação
isolamos
somando
dos dois lados e subtraindo
:
Explicação rápida: isso é só álgebra linear simples — movemos termos para obter
em função de
.
Passo 4
Usar a equação para
para obter
. Como
, temos
Substituindo a expressão de
encontrada no Passo 3,
Agora expressamos
e
em termos de
e
.
Passo 5
Substituir
e
na equação de
para eliminar os parâmetros. A equação para
é
Observe que
e que
(pela equação de
). Então podemos simplificar sem precisar substituir
e
individualmente:
Isso já é uma equação cartesiana relacionando
e
; note que
não aparece.
Passo 6
Interpretar a equação obtida. A relação
é a equação de um plano. Como
não aparece na equação, o plano é paralelo ao eixo
(ou seja, contém todas as direções paralelas a
). Podemos também escrever a forma padrão do plano reunindo todos os termos à esquerda:
ou multiplicando por
,
O vetor normal a esse plano é
, o que pode ser verificado também calculando os vetores tangentes
e
e fazendo o produto vetorial entre eles:
que é exatamente um vetor normal ao plano.
Passo 7
Verificação por exemplos de pontos: escolha valores de
e veja se o ponto resultante satisfaz
.
- Para
temos . Verificando: e OK. - Para
temos . Verificando: e OK.
Isso confirma que a parametrização descreve o plano determinado por.
Resposta
Plano: