Resolver as seguintes integrais impróprias:
\int_{1}^{\infty} \frac{x^{2}+x+1}{x^{4}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{x^{2}+x+1}{x^{4}}\,dx.
Informações dadas:
  • O intervalo de integração é [1,\infty), ou seja, o limite superior é infinito (é uma integral imprópria).
  • O integrando é \dfrac{x^{2}+x+1}{x^{4}}.
    O que precisamos encontrar: o valor numérico dessa integral e verificar (implicitamente) que ela converge.

Passo 2

Primeiro simplificamos o integrando, dividindo cada termo por x^{4}. Isso facilita ver que tipo de funções estamos integrando. Fazendo a divisão termo a termo:
\frac{x^{2}+x+1}{x^{4}} = \frac{x^{2}}{x^{4}} + \frac{x}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} = x^{-2} + x^{-3} + x^{-4}.
Então a integral vira
\int_{1}^{\infty} \frac{x^{2}+x+1}{x^{4}}\,dx = \int_{1}^{\infty} \bigl(x^{-2} + x^{-3} + x^{-4}\bigr)\,dx.

Passo 3

Lembrete importante (regra da integral de potência): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui podemos aplicar essa regra aos expoentes negativos porque nenhum deles é -1. Vamos achar uma primitiva (antiderivada) termo a termo.
Para x^{-2}:
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1}.
Para x^{-3}:
\int x^{-3}\,dx = \frac{x^{-2}}{-2} = -\tfrac{1}{2}x^{-2}.
Para x^{-4}:
\int x^{-4}\,dx = \frac{x^{-3}}{-3} = -\tfrac{1}{3}x^{-3}.
Somando as primitivas temos uma primitiva comum
F(x) = -x^{-1} - \tfrac{1}{2}x^{-2} - \tfrac{1}{3}x^{-3}.

Passo 4

Como a integral é imprópria (limite superior infinito), definimos a integral como limite:
\int_{1}^{\infty} \bigl(x^{-2}+x^{-3}+x^{-4}\bigr)\,dx = \lim_{b\to\infty} \int_{1}^{b} \bigl(x^{-2}+x^{-3}+x^{-4}\bigr)\,dx = \lim_{b\to\infty} \bigl(F(b)-F(1)\bigr).
Agora vamos avaliar \lim_{b\to\infty} F(b). Como F(b) é soma de termos do tipo - constante times b^{-k} com k\ge 1, cada termo tende a 0 quando b\to\infty. Logo
\lim_{b\to\infty} F(b) = 0.

Passo 5

Agora calculamos F(1). Substituindo x=1 em F(x):
F(1) = -1^{-1} - \tfrac{1}{2}1^{-2} - \tfrac{1}{3}1^{-3} = -1 - \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{3}.
Somando essas frações:
-1 - \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{3} = -\left(1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3}\right) = -\frac{11}{6}.
Portanto a integral vale
\lim_{b\to\infty} \bigl(F(b)-F(1)\bigr) = 0 - \bigl(-\tfrac{11}{6}\bigr) = \tfrac{11}{6}.

Passo 6

Comentário didático final (útil para prova): outra forma rápida é notar que cada termo é um caso da integral-p:
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx = \frac{1}{p-1}\quad\text{para }p>1.
Aqui temos p=2,3,4, então
\int_{1}^{\infty} x^{-2}\,dx = 1,\qquad \int_{1}^{\infty} x^{-3}\,dx = \tfrac{1}{2},\qquad \int_{1}^{\infty} x^{-4}\,dx = \tfrac{1}{3},
e somando dá 1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}=\tfrac{11}{6}. Isso confirma o resultado e mostra por que a integral converge (cada termo é convergente pois p>1).

Resposta

\displaystyle \frac{11}{6}

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