Resolver as seguintes integrais impróprias:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
Informações dadas:
- O intervalo de integração é
, ou seja, o limite superior é infinito (é uma integral imprópria). - O integrando é
.
O que precisamos encontrar: o valor numérico dessa integral e verificar (implicitamente) que ela converge.
Passo 2
Primeiro simplificamos o integrando, dividindo cada termo por
. Isso facilita ver que tipo de funções estamos integrando. Fazendo a divisão termo a termo:
Então a integral vira
Passo 3
Lembrete importante (regra da integral de potência): para
,
Aqui podemos aplicar essa regra aos expoentes negativos porque nenhum deles é
. Vamos achar uma primitiva (antiderivada) termo a termo.
Para
:
Para
:
Para
:
Somando as primitivas temos uma primitiva comum
Passo 4
Como a integral é imprópria (limite superior infinito), definimos a integral como limite:
Agora vamos avaliar
. Como
é soma de termos do tipo
constante times
com
, cada termo tende a
quando
. Logo
Passo 5
Agora calculamos
. Substituindo
em
:
Somando essas frações:
Portanto a integral vale
Passo 6
Comentário didático final (útil para prova): outra forma rápida é notar que cada termo é um caso da integral-p:
Aqui temos
, então
e somando dá
. Isso confirma o resultado e mostra por que a integral converge (cada termo é convergente pois
).