(Massa e centro de massa de casca fina) Seja S o hemisfério x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} com z \geq 0 (casca fina) e densidade superficial \delta(x, y, z)=\frac{z}{a}. Encontre a massa total M=\iint_{S} \delta d S e a coordenada \bar{z} do centro de massa (\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}) de S.

Passo 1

O enunciado pede a massa total e a coordenada \bar z do centro de massa de uma casca hemisférica S definida por
x^2 + y^2 + z^2 = a^2,\quad z\ge0
com densidade superficial \delta(x,y,z)=\frac{z}{a}.
Para resolver vamos usar coordenadas esféricas, onde na superfície da esfera r=a, escrevemos
x = a \sin\varphi\cos\theta,\quad y = a \sin\varphi\sin\theta,\quad z = a\cos\varphi,
com \varphi\in[0,\tfrac\pi2] e \theta\in[0,2\pi], e o elemento de área é
dS = a^2\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 2

Expressamos a densidade e o elemento de área em função de \varphi,\theta.
Como z=a\cos\varphi,
\delta = \frac{z}{a} = \cos\varphi.
Logo o elemento de massa é
\delta\,dS = \cos\varphi\;\bigl(a^2\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta\bigr) = a^2\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Calculamos a massa total
M = \iint_{S}\delta\,dS = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi/2}a^2\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Integramos primeiro em \varphi:
\int_{0}^{\pi/2}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi = \frac12\int_{0}^{\pi/2}\sin(2\varphi)\,d\varphi = \frac12\bigl[-\tfrac12\cos(2\varphi)\bigr]_{0}^{\pi/2} = \frac12\cdot1 = \tfrac12.
Então
M = a^2\;(2\pi)\;\frac12 = \pi\,a^2.

Passo 4

Calculamos o momento em z para depois achar \bar z:
\iint_{S} z\,\delta\,dS = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi/2} \bigl(a\cos\varphi\bigr)\;\bigl(a^2\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta\bigr).
Isso é
a^3\int_{0}^{2\pi}d\theta\;\int_{0}^{\pi/2}\cos^2\varphi\sin\varphi\,d\varphi =2\pi\,a^3\;\int_{0}^{\pi/2}\cos^2\varphi\sin\varphi\,d\varphi.
Fazendo u=\cos\varphi, du=-\sin\varphi\,d\varphi, vai de u(0)=1 a u(\pi/2)=0:
\int_{0}^{\pi/2}\cos^2\varphi\sin\varphi\,d\varphi = \int_{1}^{0}u^2(-du) = \int_{0}^{1}u^2\,du = \tfrac13.
Logo o momento em z é
\iint_{S} z\,\delta\,dS = 2\pi\,a^3\;\frac13 = \frac{2\pi\,a^3}{3}.

Passo 5

A coordenada \bar z do centro de massa é o momento dividido pela massa:
\bar z = \frac{1}{M}\iint_{S} z\,\delta\,dS = \frac{\frac{2\pi\,a^3}{3}}{\pi\,a^2} = \frac{2a}{3}.
Pelo simetria \bar x=\bar y=0.

Resposta

M = \pi\,a^2 \bar x = 0,\;\bar y = 0,\;\bar z = \tfrac{2a}{3}.

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