(Massa e centro de massa de casca fina) Seja
o hemisfério
com
(casca fina) e densidade superficial
. Encontre a massa total
e a coordenada
do centro de massa
de
.
Passo 1
O enunciado pede a massa total e a coordenada
do centro de massa de uma casca hemisférica
definida por
com densidade superficial
.
Para resolver vamos usar coordenadas esféricas, onde na superfície da esfera , escrevemos
Para resolver vamos usar coordenadas esféricas, onde na superfície da esfera
com
e
, e o elemento de área é
Passo 2
Expressamos a densidade e o elemento de área em função de
.
Como ,
Como
Logo o elemento de massa é
Passo 3
Calculamos a massa total
Integramos primeiro em
:
Então
Passo 4
Calculamos o momento em
para depois achar
:
Isso é
Fazendo
,
, vai de
a
:
Logo o momento em
é
Passo 5
A coordenada
do centro de massa é o momento dividido pela massa:
Pelo simetria
.