(Fluxo através de paraboloide) Seja \mathbf{F}(x, y, z)=x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k} e seja S a superfície z=4-x^{2}-y^{2} com z \geq 0, orientada para cima. Calcule o fluxo \iint_{S} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} d S.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS
da campo \mathbf{F}(x,y,z) = x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k} através da porção do paraboloide
z = 4 - x^2 - y^2,\quad z\ge0
orientada para cima.
Conteúdo: integral de superfície de um campo vetorial usando projeção sobre o plano xy.

Passo 2

Para superfícies descritas como z=f(x,y) orientadas para cima, um vetor normal não unitário é
\mathbf{n}\,dS = \bigl(-f_x,\;-f_y,\;1\bigr)\,dA,
onde dA é o elemento de área no plano xy. Aqui
f(x,y)=4-x^2-y^2\quad\Longrightarrow\quad f_x = -2x,\;f_y=-2y.

Passo 3

O fluxo é
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\iint_{D}\bigl(-P\,f_x -Q\,f_y + R\bigr)\,dA,
com P=x, Q=y, R=z=4-x^2-y^2. Então o integrando é
-\,x\,( -2x)\;-\;y\,( -2y)\;+\;(4 - x^2 - y^2) =2x^2 + 2y^2 +4 - x^2 - y^2 = x^2 + y^2 +4.

Passo 4

A região D no plano xy é o disco x^2+y^2\le4. Em coordenadas polares (r,\theta),
x^2+y^2 = r^2,\quad dA = r\,dr\,d\theta,
com 0\le r\le2, 0\le\theta\le2\pi. O fluxo vira
\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2} \bigl(r^2 +4\bigr)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calculemos
\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2}(r^3+4r)\,dr\,d\theta =2\pi\int_{0}^{2}(r^3+4r)\,dr =2\pi\Bigl[\tfrac{r^4}{4}+2r^2\Bigr]_{0}^{2} =2\pi\bigl[4+8\bigr] =24\pi.

Resposta

O fluxo vale 24\pi.

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