(Fluxo através de paraboloide) Seja
e seja
a superfície
com
, orientada para cima. Calcule o fluxo
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo
da campo
através da porção do paraboloide
orientada para cima.
Conteúdo: integral de superfície de um campo vetorial usando projeção sobre o plano .
Conteúdo: integral de superfície de um campo vetorial usando projeção sobre o plano
Passo 2
Para superfícies descritas como
orientadas para cima, um vetor normal não unitário é
onde
é o elemento de área no plano
. Aqui
Passo 3
O fluxo é
com
,
,
. Então o integrando é
Passo 4
A região
no plano
é o disco
. Em coordenadas polares
,
com
,
. O fluxo vira
Passo 5
Calculemos
Resposta
O fluxo vale
.