Calcule \iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}, onde \mathbf{F}(x, y, z)=\langle y,-x, z\rangle, e S é a superfície parametrizada por:
\mathbf{r}(u, v)=\langle u \cos v, u \operatorname{sen} v, u\rangle, \quad 0 \leq u \leq 1, \quad 0 \leq v \leq 2 \pi .

Passo 1

O enunciado pede o fluxo da campo \mathbf{F}(x,y,z)=\langle y,-x,z\rangle através da superfície S dada pela parametrização
\mathbf{r}(u,v)=\langle u\cos v,\;u\sin v,\;u\rangle, \quad 0\le u\le1,\;0\le v\le2\pi.
O conteúdo aqui é a integral de superfície do tipo
\displaystyle \iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\iint_{D}\mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v))\cdot\bigl(\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\bigr)\,du\,dv.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais da parametrização:
\mathbf{r}_u=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u} =\langle\cos v,\;\sin v,\;1\rangle, \quad \mathbf{r}_v=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v} =\langle -u\sin v,\;u\cos v,\;0\rangle.
O produto vetorial dá
\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v =\det\begin{pmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ \cos v&\sin v&1\\\\ -\,u\sin v&u\cos v&0 \end{pmatrix} =\langle -u\cos v,\;-u\sin v,\;u\rangle.

Passo 3

Substituímos \mathbf{r}(u,v) em \mathbf{F} e fazemos o produto escalar:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v)) =\bigl\langle u\sin v,\,-u\cos v,\;u\bigr\rangle,
\mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v))\cdot\bigl(\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\bigr) =(u\sin v)(-u\cos v)+(-u\cos v)(-u\sin v)+(u)(u) =0+u^2=u^2.

Passo 4

Agora integramos sobre o domínio (u,v)\in[0,1]\times[0,2\pi]:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\int_{v=0}^{2\pi}\int_{u=0}^{1}u^2\,du\,dv =\Bigl[\tfrac{u^3}{3}\Bigr]_{0}^{1}\cdot\Bigl[v\Bigr]_{0}^{2\pi} =\frac{1}{3}\cdot2\pi =\frac{2\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{2\pi}{3}.

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