Calcule \oint_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, onde:
\mathbf{F}(x, y, z)=\langle z, x, y\rangle,
e C é a borda do hemisfério superior da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4, orientada positivamente.

Passo 1

O enunciado pede o valor de \displaystyle \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} onde \mathbf{F}(x,y,z)=\langle z,x,y\rangle e C é a curva de contorno do hemisfério superior da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4. Como C é fechado e faz fronteira com uma superfície suave, usamos o Teorema de Stokes que diz:
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS,
onde S é o hemisfério superior orientado pelo vetor normal externo à esfera.

Passo 2

Calculamos o rotacional de \mathbf{F}. Para \mathbf{F}=\langle P,Q,R\rangle=\langle z,x,y\rangle,
\nabla\times\mathbf{F} = \Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr) =(1,1,1).

Passo 3

Na esfera de raio 2, o vetor normal externo unitário é
\mathbf{n} =\frac{1}{2}\langle x,y,z\rangle,
e o elemento de área é dS. Logo
(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n} =\langle1,1,1\rangle\cdot\frac{1}{2}\langle x,y,z\rangle =\frac{x+y+z}{2}.
Como por simetria \iint_{S}x\,dS=\iint_{S}y\,dS=0, sobra calcular \iint_{S}z\,dS.

Passo 4

Usamos coordenadas esféricas: x=2\sin\varphi\cos\theta, y=2\sin\varphi\sin\theta, z=2\cos\varphi, com \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}], \theta\in[0,2\pi], e
dS =4\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Assim,
\iint_{S}z\,dS =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2}(2\cos\varphi)\,(4\sin\varphi)\,d\varphi\,d\theta =8\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi =8\cdot2\pi\cdot\frac{1}{2} =8\pi.
Portanto
\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS =\iint_{S}\frac{z}{2}\,dS =\frac{1}{2}\,8\pi =4\pi.

Resposta

\displaystyle 4\pi

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