Calcule
, onde:
e
é a borda do hemisfério superior da esfera
, orientada positivamente.
Passo 1
O enunciado pede o valor de
onde
e
é a curva de contorno do hemisfério superior da esfera
. Como
é fechado e faz fronteira com uma superfície suave, usamos o Teorema de Stokes que diz:
onde
é o hemisfério superior orientado pelo vetor normal externo à esfera.
Passo 2
Calculamos o rotacional de
. Para
,
Passo 3
Na esfera de raio
, o vetor normal externo unitário é
e o elemento de área é
. Logo
Como por simetria
, sobra calcular
.
Passo 4
Usamos coordenadas esféricas:
,
,
, com
,
, e
Assim,
Portanto