Use o Teorema de Stokes para calcular \oint_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, onde:
\mathbf{F}(x, y, z)=\langle y, z, x\rangle,
e C é a curva orientada de interseção entre o plano x+y+z=1 e o cilindro x^{2}+y^{2}=9, percorrida no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} com \mathbf{F}(x,y,z)=\langle y,z,x\rangle e C sendo a interseção do plano x+y+z=1 com o cilindro x^{2}+y^{2}=9, orientada anti-horário vista de cima. Vamos aplicar o Teorema de Stokes, que troca a integral de linha por uma integral de superfície
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\hat{n}\,dS,
onde S é a parte do plano limitada por C e \hat n é o versor normal compatível com a orientação de C.

Passo 2

Calcular o rotacional de \mathbf{F}:
\nabla\times\mathbf{F} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ \partial_x&\partial_y&\partial_z\\\ y&z&x \end{vmatrix} =\langle \partial_y x-\partial_z z,\;\partial_z y-\partial_x x,\;\partial_x z-\partial_y y\rangle =\langle -1,-1,-1\rangle.

Passo 3

Escolher S como a porção do plano x+y+z=1 sobre a região R:\,x^{2}+y^{2}\le9. O vetor normal ao plano é \mathbf{N}=\langle1,1,1\rangle. Para que C seja percorrida anti-horário vista de cima (isto é, sentido positivo de z), usamos o versor
\hat{n}=\frac{\mathbf{N}}{\|\mathbf{N}\|}=\frac{\langle1,1,1\rangle}{\sqrt{3}}.

Passo 4

O produto escalar entre o rotacional e o versor normal é constante:
(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\hat{n} =\langle -1,-1,-1\rangle\cdot\frac{\langle1,1,1\rangle}{\sqrt{3}} =-\frac{3}{\sqrt{3}} =-\sqrt{3}.
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\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\hat{n}\,dS =-\sqrt{3}\,\iint_{S}dS.

Passo 5

Para achar a área de S projetada em R, usamos que se o plano é x+y+z=1 e \mathbf{N}\cdot\mathbf{k}=1, então
dS=\frac{\|\mathbf{N}\|}{|\mathbf{N}\cdot\mathbf{k}|}\,dA =\sqrt{3}\,dA.
Como R é o disco de raio 3 em xy, sua área é \pi\cdot3^{2}=9\pi. Portanto
\iint_{S}dS =\iint_{R}\sqrt{3}\,dA =\sqrt{3}\cdot9\pi =9\sqrt{3}\,\pi.

Passo 6

Substituindo na integral de superfície:
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =-\sqrt{3}\,\bigl(9\sqrt{3}\,\pi\bigr) =-27\pi.

Resposta

-27\pi

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