Seja \mathbf{F}(x, y, z)=\langle x, y, 0\rangle, calcule \iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}, onde S é o cilindro x^{2}+y^{2}=4, entre z=0 e z=3, orientado para fora.
13. Calcule o fluxo de \mathbf{F}(x, y, z)=\langle 0,0, z\rangle através da superfície z=x^{2}+y^{2}, com 0 \leq z \leq 1, orientada com normal ascendente.

Passo 1

O enunciado oferece dois problemas de fluxo de campo vetorial através de superfícies. No primeiro, \mathbf{F}(x,y,z)=\langle x,y,0\rangle e S é apenas a superfície lateral do cilindro x^2+y^2=4, 0\le z\le3, orientada para fora. No segundo, \mathbf{F}(x,y,z)=\langle0,0,z\rangle e S é a porção da parábola z=x^2+y^2 para 0\le z\le1, com normal apontando para cima. Vamos resolver cada um usando parametrizações de superfície.

Passo 2

Para o cilindro use a parametrização
\mathbf{r}(\theta,z)=\langle2\cos\theta,\;2\sin\theta,\;z\rangle, \quad 0\le\theta\le2\pi,\;0\le z\le3.
Calculemos
\mathbf{r}_\theta=\langle -2\sin\theta,\,2\cos\theta,\,0\rangle, \quad \mathbf{r}_z=\langle0,\,0,\,1\rangle,
\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z =\langle2\cos\theta,\,2\sin\theta,\,0\rangle,
que já está apontando para fora. Então
\mathbf{F}(\mathbf{r}(\theta,z)) =\langle2\cos\theta,\,2\sin\theta,\,0\rangle,
\mathbf{F}\cdot(\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z) =4(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=4.
O fluxo é
\int_{0}^{3}\!\int_{0}^{2\pi}4\;d\theta\,dz =4\cdot(2\pi)\cdot3 =24\pi.

Passo 3

Para a parábola use coordenadas polares:
\mathbf{r}(r,\theta) =\langle r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r^2\rangle, \quad 0\le r\le1,\;0\le\theta\le2\pi.
Queremos a normal para cima, então
\mathbf{r}_r=\langle\cos\theta,\,\sin\theta,\,2r\rangle, \quad \mathbf{r}_\theta=\langle -r\sin\theta,\,r\cos\theta,\,0\rangle,
\mathbf{r}_r\times\mathbf{r}_\theta =\langle -2r^2\cos\theta,\,-2r^2\sin\theta,\,r\rangle,
cuja componente z é positiva, como queremos. E
\mathbf{F}(\mathbf{r}(r,\theta)) =\langle0,0,r^2\rangle,
\mathbf{F}\cdot(\mathbf{r}_r\times\mathbf{r}_\theta) =r^2\cdot r=r^3.
O fluxo é
\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}r^3\,dr\,d\theta =2\pi\cdot\frac{1}{4} =\frac{\pi}{2}.

Resposta

  1. 24\pi
  2. \displaystyle \frac{\pi}{2}

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