Para as duas questões a seguir, seja E a região delimitada pela elipse dada por
\left(\begin{array}{ll} x & y \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 73 & -36 \\\\ -36 & 52 \end{array}\right)\binom{x}{y}=125 \Longleftrightarrow 73 x^{2}+2 \cdot(-36) \cdot x y+52 y^{2}=125
Sabe-se que dois autovetores da matriz 2 \times 2 acima são v_{1}=(3,4) e v_{2}=(-4,3) (acredite em mim, é verdade).
Qual a área de E ?
(a) \frac{\pi \sqrt{5}}{6}
(b) \frac{5 \pi}{\sqrt{4}}
(c) \frac{5 \pi}{\sqrt{6}}
(d) \frac{3 \pi}{\sqrt{5}}
(e) \frac{2 \pi}{5}

Passo 1

O enunciado define a região E pela elipse
(x,y)\,A\,\binom{x}{y}=125,
onde
A=\begin{pmatrix}73 & -36\\\ -36 & 52\end{pmatrix},
e dá dois autovetores de A. Queremos a área de E.
Conteúdo necessário: cálculo de autovalores de A, mudança para os eixos principais e fórmula da área de elipse \pi a b.

Passo 2

Para achar os autovalores \lambda de A resolvemos
\det(A-\lambda I)=0.
Como \tr A=73+52=125 e \det A=73\cdot52-(-36)^2=3796-1296=2500, a equação característica é
\lambda^2 -125\,\lambda +2500=0.

Passo 3

Calculamos o discriminante:
\Delta =125^2 -4\cdot2500=15625-10000=5625,\quad \sqrt{\Delta}=75.
Logo as raízes são
\lambda_1=\frac{125+75}{2}=100, \qquad \lambda_2=\frac{125-75}{2}=25.

Passo 4

Em coordenadas principais (u_1,u_2) a equação vira
100\,u_1^2 +25\,u_2^2 =125.
Escrevendo em forma padrão,
\frac{u_1^2}{125/100} + \frac{u_2^2}{125/25} =1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{u_1^2}{5/4} + \frac{u_2^2}{5} =1.
Assim os semi-eixos são
a=\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt5}{2}, \qquad b=\sqrt{5},
e a área é
\pi\,a\,b =\pi\cdot\frac{\sqrt5}{2}\cdot\sqrt5 =\pi\cdot\frac{5}{2} =\frac{5\pi}{2}.

Passo 5

A opção que representa \tfrac{5\pi}{2} é a letra (b), pois \sqrt{4}=2 e daí
\frac{5\pi}{\sqrt4} = \frac{5\pi}{2}.

Resposta

(b)

Exercícios relacionados