Calcule \iint_{\sigma} f(x, y, z) d S sendo:
f(x, y, z)=x^{2}+y^{2} e \sigma é a superficie x^{2}+y^{2}+z^{2}=4, z \geq 0.

Passo 1

Vamos calcular a integral de superfície de f(x,y,z)=x^{2}+y^{2} sobre a meia-esfera
\sigma:\;x^{2}+y^{2}+z^{2}=4,\quad z\ge0.
O conteúdo utilizado é o de integrais de superfície para função escalar, parametricizando \sigma em coordenadas esféricas.

Passo 2

Parametrizamos a superfície por
\mathbf r(\varphi,\theta)=\bigl(2\sin\varphi\cos\theta,\;2\sin\varphi\sin\theta,\;2\cos\varphi\bigr),
com 0\le\varphi\le\frac\pi2 (colatitude) e 0\le\theta\le2\pi (longitude).

Passo 3

Na parametrização, temos
x^{2}+y^{2}=(2\sin\varphi)^{2}=4\sin^{2}\varphi,
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f\bigl(\mathbf r(\varphi,\theta)\bigr)=4\sin^{2}\varphi.

Passo 4

O elemento de área na esfera de raio 2 é
dS=\bigl|\mathbf r_{\varphi}\times\mathbf r_{\theta}\bigr|\,d\varphi\,d\theta =2^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta =4\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Montamos então a integral
\iint_{\sigma}f\,dS =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi/2} \bigl(4\sin^{2}\varphi\bigr)\bigl(4\sin\varphi\bigr)\,d\varphi\,d\theta =16\int_{0}^{2\pi}\!d\theta \int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\varphi\,d\varphi.

Passo 6

Separamos as integrais:
16\int_{0}^{2\pi}\!d\theta \int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\varphi\,d\varphi =16\cdot2\pi\cdot\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\varphi\,d\varphi =32\pi\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\varphi\,d\varphi.

Passo 7

Calculamos
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\varphi\,d\varphi =\int_{0}^{\pi/2}(1-\cos^{2}\varphi)\sin\varphi\,d\varphi.
Fazendo u=\cos\varphi, du=-\sin\varphi\,d\varphi, muda os limites de u\colon1\to0:
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\varphi\,d\varphi =\int_{u=1}^{0}(1-u^{2})(-du) =\int_{0}^{1}(1-u^{2})\,du =\Bigl[u-\tfrac{u^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1} =1-\tfrac13 =\tfrac23.

Passo 8

Substituindo na integral total:
32\pi\cdot\tfrac23 =\tfrac{64\pi}{3}.

Resposta

\iint_{\sigma}f(x,y,z)\,dS =\frac{64\pi}{3}.

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