Considere o cilindro B=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R} \mid x^{2}+y^{2} \leq 1,0 \leq z \leq 1\right\} e seja
\vec{F}(x, y, z)=(0,0, R(x, y, z))
de classe C^{1} em um aberto contendo B, verifique que
\iint_{\sigma} \vec{F} \cdot \vec{n} d S=\iiint_{B} \operatorname{div}(\vec{F}) d x d y d z
onde \sigma é a fronteira de B con normal \vec{n} apontando para fora de B.

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema da Divergência em
\iint_{\sigma}\vec F\cdot\vec n\,dS \;=\;\iiint_{B}\div(\vec F)\,dV,
onde B é o cilindro \{(x,y,z)\mid x^2+y^2\le1,\;0\le z\le1\} e
\vec F(x,y,z)=(0,0,R(x,y,z)).
O que vamos usar:
– Cálculo de \div\vec F.
– Decomposição da fronteira \sigma em casco lateral e discos superior/inferior.
– Teorema de Fubini e o Teorema Fundamental do Cálculo para o volume.

Passo 2

Calculemos a divergência de \vec F. Como
\vec F(x,y,z)=(0,0,R(x,y,z)),
temos
\div(\vec F) =\frac{\partial}{\partial x}(0) +\frac{\partial}{\partial y}(0) +\frac{\partial}{\partial z}\bigl(R(x,y,z)\bigr) =\frac{\partial R}{\partial z}(x,y,z).

Passo 3

Particionamos a fronteira \sigma em três partes:
\sigma_{\rm lat}: superfície lateral ( x^2+y^2=1,\;0\le z\le1).
\sigma_{\rm top}: disco superior ( x^2+y^2\le1,\;z=1).
\sigma_{\rm bot}: disco inferior ( x^2+y^2\le1,\;z=0).
No casco lateral, o vetor normal unitário é
\vec n=(\cos\theta,\sin\theta,0),
e \vec F\cdot\vec n=(0,0,R)\cdot(\cos\theta,\sin\theta,0)=0.
Logo
\iint_{\sigma_{\rm lat}}\vec F\cdot\vec n\,dS=0.

Passo 4

No disco superior ( z=1), \vec n=(0,0,1), então
\vec F\cdot\vec n=R(x,y,1), \quad dS=dA,
e
\iint_{\sigma_{\rm top}}\vec F\cdot\vec n\,dS =\iint_{x^2+y^2\le1}R(x,y,1)\,dA.
No disco inferior ( z=0), \vec n=(0,0,-1), logo
\vec F\cdot\vec n=-R(x,y,0), \quad dS=dA,
e
\iint_{\sigma_{\rm bot}}\vec F\cdot\vec n\,dS =-\iint_{x^2+y^2\le1}R(x,y,0)\,dA.

Passo 5

Somando as três contribuições da superfície,
\iint_{\sigma}\vec F\cdot\vec n\,dS =0 +\iint_{x^2+y^2\le1}R(x,y,1)\,dA -\iint_{x^2+y^2\le1}R(x,y,0)\,dA =\iint_{x^2+y^2\le1}\bigl[R(x,y,1)-R(x,y,0)\bigr]\,dA.

Passo 6

Agora o volume:
\iiint_{B}\div(\vec F)\,dV =\iiint_{B}\frac{\partial R}{\partial z}(x,y,z)\,dV =\int_{0}^{1}\!\!\iint_{x^2+y^2\le1}\frac{\partial R}{\partial z}(x,y,z)\,dA\,dz.
Pela Fubini e o Teorema Fundamental do Cálculo em z, para cada (x,y) fixo,
\int_{0}^{1}\frac{\partial R}{\partial z}(x,y,z)\,dz =R(x,y,1)-R(x,y,0).
Logo
\iiint_{B}\div(\vec F)\,dV =\iint_{x^2+y^2\le1}\bigl[R(x,y,1)-R(x,y,0)\bigr]\,dA.

Resposta

Comparando com o resultado do integral de superfície, vemos que
\iint_{\sigma}\vec F\cdot\vec n\,dS =\iiint_{B}\div(\vec F)\,dV,
como pedido.

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