Considere o cilindro
e seja
de classe
em um aberto contendo
, verifique que
onde
é a fronteira de
con normal
apontando para fora de
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar o Teorema da Divergência em
onde
é o cilindro
e
.
O que vamos usar:
– Cálculo de .
– Decomposição da fronteira em casco lateral e discos superior/inferior.
– Teorema de Fubini e o Teorema Fundamental do Cálculo para o volume.
O que vamos usar:
– Cálculo de
– Decomposição da fronteira
– Teorema de Fubini e o Teorema Fundamental do Cálculo para o volume.
Passo 2
Calculemos a divergência de
. Como
temos
Passo 3
Particionamos a fronteira
em três partes:
— : superfície lateral (
).
— : disco superior (
).
— : disco inferior (
).
—
—
—
No casco lateral, o vetor normal unitário é
,
e .
Logo
e
Logo
Passo 4
No disco superior (
),
, então
e
No disco inferior (
),
, logo
e
Passo 5
Somando as três contribuições da superfície,
Passo 6
Agora o volume:
Pela Fubini e o Teorema Fundamental do Cálculo em
, para cada
fixo,
Logo
Resposta
Comparando com o resultado do integral de superfície, vemos que
como pedido.