Calcule a integral de superfície.
,
é o limite da região delimitada pelo cilindro
pelos planos
e
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de superfície
onde
é a superfície fechada que envolve a região delimitada pelo cilindro
e pelos planos
e
. Vamos decompor
em três partes:
– a superfície lateral do cilindro,
– o disco em ,
– a face oblíqua em ,
e calcular a contribuição de cada uma.
– a superfície lateral do cilindro,
– o disco em
– a face oblíqua em
e calcular a contribuição de cada uma.
Passo 2
Na superfície lateral do cilindro
parametrizamos por
O elemento de área é
e o integrando é
. Logo a contribuição é
Calculando a integral interna,
obtemos
Como
é função ímpar em
e
é par, o integral é zero. Portanto
.
Passo 3
No disco em
com
temos
e, consequentemente,
em toda a superfície. Logo a contribuição é
Passo 4
Na face oblíqua
parametrizamos em
e
:
Calculamos
O elemento de área é
e o integrando é
Assim a contribuição é
Por simetria do disco
e
, então
.
Passo 5
Somando as três contribuições