Calcule a integral de superfície.
\iint_{S} x z d S,
S é o limite da região delimitada pelo cilindro y^{2}+z^{2}=9 \mathrm{e} pelos planos x=0 e x+y=5

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de superfície
\iint_{S} x\,z \, dS
onde S é a superfície fechada que envolve a região delimitada pelo cilindro y^{2}+z^{2}=9 e pelos planos x=0 e x+y=5. Vamos decompor S em três partes:
– a superfície lateral do cilindro,
– o disco em x=0,
– a face oblíqua em x+y=5,
e calcular a contribuição de cada uma.

Passo 2

Na superfície lateral do cilindro y^{2}+z^{2}=9 parametrizamos por
y=3\cos\theta,\quad z=3\sin\theta,\quad x=x, \quad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le x\le5-3\cos\theta.
O elemento de área é
dS=3\,d\theta\,dx
e o integrando é x\,z=x\,(3\sin\theta). Logo a contribuição é
I_{1} =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{5-3\cos\theta}x\,(3\sin\theta)\,3\,dx\,d\theta =9\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\int_{0}^{5-3\cos\theta}x\,dx\,d\theta.
Calculando a integral interna,
\int_{0}^{5-3\cos\theta}x\,dx =\frac{(5-3\cos\theta)^{2}}{2},
obtemos
I_{1} =\frac{9}{2}\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,(5-3\cos\theta)^{2}\,d\theta.
Como \sin\theta é função ímpar em [0,2\pi] e (5-3\cos\theta)^{2} é par, o integral é zero. Portanto I_{1}=0.

Passo 3

No disco em x=0 com y^{2}+z^{2}\le9 temos x=0 e, consequentemente, x\,z=0 em toda a superfície. Logo a contribuição é
I_{2}=0.

Passo 4

Na face oblíqua x+y=5 parametrizamos em y e z:
\mathbf{r}(y,z)=(5-y,\;y,\;z), \quad y^{2}+z^{2}\le9.
Calculamos
\mathbf{r}_{y}=(-1,1,0),\quad \mathbf{r}_{z}=(0,0,1), \quad |\mathbf{r}_{y}\times\mathbf{r}_{z}|=\sqrt{2}.
O elemento de área é dS=\sqrt{2}\,dy\,dz e o integrando é
x\,z=(5-y)\,z.
Assim a contribuição é
I_{3} =\iint_{y^{2}+z^{2}\le9}(5-y)\,z\,\sqrt{2}\,dy\,dz =\sqrt{2}\Bigl(5\iint z\,dy\,dz-\iint y z\,dy\,dz\Bigr).
Por simetria do disco \iint z\,dy\,dz=0 e \iint y z\,dy\,dz=0, então I_{3}=0.

Passo 5

Somando as três contribuições
\iint_{S}x\,z\,dS =I_{1}+I_{2}+I_{3} =0+0+0 =0.

Resposta

0

Exercícios relacionados