(vale: 2,0 ) Uma partícula movimenta-se sobre uma curva fechada C definida pela circunferência \mathbf{r}(t)=2 \cos t \mathbf{i}+2 \operatorname{sen} t \mathbf{j}, 0 \leq t \leq 2 \pi. Ache o trabalho total realizado pelo campo de forças \mathbf{F}(x, y)=\left(4 \ln (3 y)+\frac{1}{x}\right) \mathbf{i}+\frac{4 x}{y} \mathbf{j}.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho
W=\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
sobre a curva fechada C dada por
\mathbf{r}(t)=(2\cos t)\,\mathbf{i}+(2\sin t)\,\mathbf{j},\;0\le t\le2\pi,
para o campo
\mathbf{F}(x,y)=\bigl(4\ln(3y)+\tfrac1x\bigr)\mathbf{i}+\frac{4x}{y}\,\mathbf{j}.

Passo 2

Observamos onde \mathbf{F} está definida:
  • O termo \ln(3y) exige 3y>0\implies y>0.
  • O termo 1/x exige x\neq0.
    Logo o domínio de \mathbf{F} é
\{(x,y)\mid x\neq0,\;y>0\}.

Passo 3

A curva C é o círculo de raio 2 centrado na origem. Ele atinge pontos com y=0 (em t=\tfrac\pi2,\tfrac{3\pi}2) e pontos com x=0 (em t=0,\pi). Nesses pontos \mathbf{F} não está definida. Portanto o integral de linha é impróprio e não existe valor finito de trabalho.

Resposta

O trabalho não pode ser determinado, pois \mathbf{F} não está definida ao longo de toda a curva C.

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