Calcule \iint_{\sigma}(\operatorname{rot} \vec{F}) \cdot \vec{n} \mathrm{~d} S, onde \vec{F}(x, y, z)=y \vec{i}+z \vec{j}+x \vec{k} e \sigma é a parte da casca esférica x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 acima do plano x y, sendo \vec{n} o campo de vetores unitário e normal a \sigma que aponta para cima.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\iint_{\sigma}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS
onde \vec{F}(x,y,z)=y\,\vec{i}+z\,\vec{j}+x\,\vec{k} e \sigma é a parte da esfera x^2+y^2+z^2=4 com z\ge0, usando o campo normal unitário apontando para cima. Vamos aplicar o Teorema de Stokes, que troca esse integral de superfície por um integral de linha ao longo da fronteira \partial\sigma.

Passo 2

Segundo o Teorema de Stokes,
\iint_{\sigma}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS =\oint_{\partial\sigma}\vec{F}\cdot d\vec r.
Aqui \partial\sigma é o círculo x^2+y^2=4, z=0, orientado no sentido anti-horário (CCW) visto de cima, compatível com a normal para cima.

Passo 3

Parametrizamos \partial\sigma por
\vec r(t) = \bigl(2\cos t,\,2\sin t,\,0\bigr),\quad t\in[0,2\pi].
Então
d\vec r = (-2\sin t,\,2\cos t,\,0)\,dt, \qquad \vec F\bigl(\vec r(t)\bigr)=(y,z,x)=(2\sin t,0,2\cos t).
Logo
\vec F\cdot d\vec r =(2\sin t)(-2\sin t)\,dt+0\cdot(2\cos t)\,dt =-4\sin^2 t\,dt.

Passo 4

Basta integrar de 0 a 2\pi:
\oint_{\partial\sigma}\vec{F}\cdot d\vec r =\int_{0}^{2\pi}-4\sin^2t\,dt =-4\int_{0}^{2\pi}\sin^2t\,dt =-4\cdot\pi =-4\pi.

Resposta

-4\pi

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