Mostre que a superfície dada pelo gráfico da função f(x, y)=x^{2}+y^{2}, \operatorname{com}(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, x^{2}+y^{2}<1, admite plano tangente em todos os pontos.

Passo 1

O enunciado define a função \;f(x,y)=x^{2}+y^{2},
com domínio \;D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}<1\},
e pede para mostrar que o gráfico de f, isto é, a superfície z=f(x,y), admite plano tangente em todo ponto de D. Vamos usar o critério de diferenciabilidade: se as derivadas parciais existem e são contínuas em D, então f é diferenciável ali e há plano tangente em cada ponto.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(x^2+y^2)=2x, \quad f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(x^2+y^2)=2y.

Passo 3

Note que f_x(x,y)=2x e f_y(x,y)=2y são polinômios em (x,y), logo funções contínuas em todo \mathbb{R}^2 (e, em particular, em D). Pelo teorema que garante que uma função com derivadas parciais contínuas é diferenciável, concluímos que f é de classe C^1(D). Assim, f é diferenciável em cada (a,b)\in D e seu gráfico admite plano tangente em todos esses pontos.

Passo 4

A fórmula geral do plano tangente à superfície z=f(x,y) no ponto (a,b,f(a,b)) é
z = f(a,b) + f_x(a,b)\,(x-a) + f_y(a,b)\,(y-b).
Aqui temos
f(a,b)=a^2+b^2,\quad f_x(a,b)=2a,\quad f_y(a,b)=2b,
logo o plano tangente em (a,b) fica
z = a^2+b^2 + 2a\,(x-a) + 2b\,(y-b).

Resposta

A função f é de classe C^1 em D, logo admite plano tangente em todo ponto (a,b), dado por
z = a^2 + b^2 + 2a\,(x-a) + 2b\,(y-b).

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