Mostre que a superfície dada pelo gráfico da função
,
, admite plano tangente em todos os pontos.
Passo 1
O enunciado define a função
,
com domínio ,
e pede para mostrar que o gráfico de , isto é, a superfície
, admite plano tangente em todo ponto de
. Vamos usar o critério de diferenciabilidade: se as derivadas parciais existem e são contínuas em
, então
é diferenciável ali e há plano tangente em cada ponto.
com domínio
e pede para mostrar que o gráfico de
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de
:
Passo 3
Note que
e
são polinômios em
, logo funções contínuas em todo
(e, em particular, em
). Pelo teorema que garante que uma função com derivadas parciais contínuas é diferenciável, concluímos que
é de classe
. Assim,
é diferenciável em cada
e seu gráfico admite plano tangente em todos esses pontos.
Passo 4
A fórmula geral do plano tangente à superfície
no ponto
é
Aqui temos
logo o plano tangente em
fica
Resposta
A função
é de classe
em
, logo admite plano tangente em todo ponto
, dado por