Considere o cilindro B=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; \quad x^{2}+y^{2}=1, \quad 0 \leq z \leq 1\right\} e seja \vec{F}(x, y, z)=P(x, y, z) \vec{i}+Q(x, y, z) \vec{j} de classe C^{1} num aberto contendo B. Verifique que
\iint_{\sigma} \vec{F} \cdot \vec{n} \mathrm{~d} S=\iiint_{B} \operatorname{div} \vec{F} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
onde \sigma é a fornteira de B com normal \vec{n} apontando para fora de B.
Passo 1
O enunciado define o cilindro
B = \{(x,y,z)\in\mathbb R^3 \mid x^2+y^2=1,\;0\le z\le1\}
e o campo \vec F=(P,Q,0) de classe C^1 num aberto que contém B. Queremos mostrar que a aplicação do Teorema da Divergência em B leva a
Para isso vamos descrever as faces de \sigma=\partial B, calcular o fluxo em cada uma e comparar ao volume integral de \operatorname{div}\vec F=\partial P/\partial x+\partial Q/\partial y.
Passo 2
A fronteira \sigma de B tem três partes orientadas para fora de B:
Lateral S_1: x^2+y^2=1,\;0\le z\le1, com vetor normal unitário \vec n=(x,y,0).
Tampa superior S_2: z=1,\;x^2+y^2\le1, com \vec n=(0,0,1).
Tampa inferior S_3: z=0,\;x^2+y^2\le1, com \vec n=(0,0,-1).
Como \vec F não tem componente em k, em S_2 e S_3 temos \vec F\cdot\vec n=0. Logo só S_1 contribui para o fluxo.
Para o volume integral em coordenadas cilíndricas usamos
\iiint_{B}\operatorname{div}\vec F\,\mathrm dV =\int_{0}^{1}\!\Bigl[\iint_{x^2+y^2\le1}\bigl(\tfrac{\partial P}{\partial x}+\tfrac{\partial Q}{\partial y}\bigr)\mathrm dA\Bigr]\mathrm dz.
Em cada plano fixo z, aplicamos o Teorema da Divergência em \mathbb R^2 ao disco unitário:
\iint_{x^2+y^2\le1}(\partial_xP+\partial_yQ)\,\mathrm dA =\int_{0}^{2\pi}\bigl[P(\cos\theta,\sin\theta,z)\cos\theta +Q(\cos\theta,\sin\theta,z)\sin\theta\bigr]\mathrm d\theta.
Logo
\iiint_{B}\operatorname{div}\vec F\,\mathrm dV =\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{2\pi}\bigl[P\cos\theta+Q\sin\theta\bigr]\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
Passo 5
Comparando as expressões dos dois integrandos vemos que
\iint_{S_1}\vec F\cdot\vec n\,\mathrm dS =\iiint_{B}\operatorname{div}\vec F\,\mathrm dV
Verificou-se que o fluxo total de \vec F na fronteira de B coincide exatamente com o triplo integral de \operatorname{div}\vec F em B, conforme o Teorema da Divergência.