Calcule \iint_{\sigma}(\operatorname{rot} \vec{F}) \cdot \vec{n} \mathrm{~d} S, onde \vec{F}(x, y, z)=y \vec{i}+z \vec{j}+x \vec{k} e \sigma é a parte da casca cilíndrica x^{2}+y^{2}=4 compreendida entre os planos z=0 e z=3, sendo \vec{n} o campo de vetores unitário e normal a \sigma que aponta para fora do cilindro.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do fluxo de \operatorname{rot}\vec F através da superfície cilíndrica
com normal unitário \vec n apontando para fora. O conteúdo é aplicar a definição de superfície paramétrica em coordenadas cilíndricas e usar \operatorname{rot}\vec F.
Passo 2
Calcular \operatorname{rot}\vec F para \vec F(x,y,z) = y\,\vec i + z\,\vec j + x\,\vec k.
\operatorname{rot}\vec F = \nabla\times\vec F = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\\ y & z & x \end{vmatrix} = \bigl(\partial_y x - \partial_z z,\;\partial_z y - \partial_x x,\;\partial_x z - \partial_y y\bigr) = (-1,\,-1,\,-1).
de modo que \mathrm d S = 2\,\mathrm d\theta\,\mathrm d z.
O vetor normal unitário para fora é
\vec n = \frac{\vec r_\theta\times\vec r_z}{|\vec r_\theta\times\vec r_z|} = \bigl(\cos\theta,\;\sin\theta,\;0\bigr).
Passo 4
No integrando,
(\operatorname{rot}\vec F)\cdot\vec n = (-1,-1,-1)\cdot(\cos\theta,\sin\theta,0) = -\cos\theta \;-\;\sin\theta.
Logo o fluxo é
\iint_{\sigma}(\operatorname{rot}\vec F)\cdot\vec n\,\mathrm dS = \int_{0}^{3}\!\int_{0}^{2\pi} \bigl[-(\cos\theta+\sin\theta)\bigr]\;2\,\mathrm d\theta\,\mathrm d z.
Como \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,\mathrm d\theta
=\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,\mathrm d\theta=0,
segue que toda a integral anula-se.