Dado que x(t)=c_{1} \cos (\omega t)+c_{2} \sin (\omega t) é a solução geral de x^{\prime \prime}+\omega^{2} x=0 no intervalo (-\infty, \infty), mostre que uma solução que satisfaça as condições iniciais x(0)=x_{0} e x^{\prime}(0)=x_{1} é dada por
x(t)=x_{0} \cos (\omega t)+\frac{x_{1}}{\omega} \sin (\omega t) .

Passo 1

O enunciado diz que a equação
x'' + \omega^2 x = 0
tem solução geral
x(t) = c_{1}\cos(\omega t) + c_{2}\sin(\omega t),
e pede a solução que satisfaz as condições iniciais
x(0) = x_{0}, \quad x'(0) = x_{1}.
Para isso, vamos determinar os coeficientes c_{1} e c_{2} usando essas condições.

Passo 2

Aplicando x(0)=x_{0} na solução geral, obtemos
x(0) = c_{1}\cos(0) + c_{2}\sin(0) = c_{1}\cdot 1 + c_{2}\cdot 0 = c_{1}.
Logo,
c_{1} = x_{0}.

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada de x(t):
x'(t) = -\,c_{1}\,\omega\,\sin(\omega t) + c_{2}\,\omega\,\cos(\omega t).
Em t=0:
x'(0) = -\,c_{1}\,\omega\,\sin(0) + c_{2}\,\omega\,\cos(0) = c_{2}\,\omega.
Como x'(0)=x_{1}, segue que
c_{2}\,\omega = x_{1} \quad\Longrightarrow\quad c_{2} = \frac{x_{1}}{\omega}.

Passo 4

Substituindo c_{1}=x_{0} e c_{2}=x_{1}/\omega na solução geral, resulta
x(t) = x_{0}\cos(\omega t) + \frac{x_{1}}{\omega}\sin(\omega t).

Resposta

x(t)=x_{0}\cos(\omega t)+\frac{x_{1}}{\omega}\sin(\omega t).

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