Nos problemas abaixo, determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem.
12 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
12\,y''+4\,y'-y=0.
O conteúdo aqui é EDO homogênea com coeficientes constantes e a ideia é transformar em equação algébrica, a chamada equação característica.

Passo 2

Para obter a equação característica, assumimos uma solução do tipo y=e^{rx}. Substituindo y=e^{rx}, y'=r\,e^{rx}, y''=r^2\,e^{rx} em
12\,y''+4\,y'-y=0
dividindo por e^{rx} (que nunca é zero) vem a equação em r:
12\,r^2+4\,r-1=0.

Passo 3

Agora resolvemos a equação quadrática
12\,r^2+4\,r-1=0.
O discriminante é
\Delta = 4^2 - 4\cdot 12\cdot(-1) = 16 + 48 = 64.
Logo as raízes são
r = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2\cdot 12} = \frac{-4 \pm 8}{24},
isto é
r_1 = \frac{-4+8}{24} = \frac{1}{6}, \quad r_2 = \frac{-4-8}{24} = -\frac{1}{2}.

Passo 4

Como as raízes r_1 e r_2 são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C_1\,e^{r_1 x} + C_2\,e^{r_2 x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_1\,e^{\tfrac{x}{6}} + C_2\,e^{-\tfrac{x}{2}}.

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